פתור את 4a^2+12a-72

$$4 a ^ { 2 } + 12 a - 72$$

פרק לגורמים

$$4\left(a-3\right)\left(a+6\right)$$

שלבי פתרון

הוצא את הגורם המשותף 4.

$$4\left(a^{2}+3a-18\right)$$

שקול את a^{2}+3a-18. פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- a^{2}+pa+qa-18. כדי למצוא את p ו- q, הגדר מערכת לפתרון.

$$p+q=3 pq=1\left(-18\right)=-18$$

מאחר ש- pq הוא שלילי, ל- p ול- q יש סימנים הפוכים. מאחר ש- p+q הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -18.

$$-1,18 -2,9 -3,6$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+18=17 -2+9=7 -3+6=3$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 3.

$$p=-3 q=6$$

שכתב את ‎a^{2}+3a-18 כ- ‎\left(a^{2}-3a\right)+\left(6a-18\right).

$$\left(a^{2}-3a\right)+\left(6a-18\right)$$

הוצא את הגורם המשותף a בקבוצה הראשונה ואת 6 בקבוצה השניה.

$$a\left(a-3\right)+6\left(a-3\right)$$

הוצא את האיבר המשותף a-3 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(a-3\right)\left(a+6\right)$$

שכתב את הביטוי המפורק לגורמים המלא.

$$4\left(a-3\right)\left(a+6\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$4a^{2}+12a-72=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$a=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 4\left(-72\right)}}{2\times 4}$$

‎12 בריבוע.

$$a=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 4\left(-72\right)}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎4.

$$a=\frac{-12±\sqrt{144-16\left(-72\right)}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-16 ב- ‎-72.

$$a=\frac{-12±\sqrt{144+1152}}{2\times 4}$$

הוסף את ‎144 ל- ‎1152.

$$a=\frac{-12±\sqrt{1296}}{2\times 4}$$

הוצא את השורש הריבועי של 1296.

$$a=\frac{-12±36}{2\times 4}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎4.

$$a=\frac{-12±36}{8}$$

כעת פתור את המשוואה a=\frac{-12±36}{8} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-12 ל- ‎36.

$$a=\frac{24}{8}$$

חלק את ‎24 ב- ‎8.

$$a=3$$

כעת פתור את המשוואה a=\frac{-12±36}{8} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎36 מ- ‎-12.

$$a=-\frac{48}{8}$$

חלק את ‎-48 ב- ‎8.

$$a=-6$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎3 במקום x_{1} וב- ‎-6 במקום x_{2}.

$$4a^{2}+12a-72=4\left(a-3\right)\left(a-\left(-6\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$4a^{2}+12a-72=4\left(a-3\right)\left(a+6\right)$$

הערך

$$4\left(a-3\right)\left(a+6\right)$$