פתור את 4x^2+19x-30

$$4 { x }^{ 2 } +19x-30$$

פרק לגורמים

$$\left(4x-5\right)\left(x+6\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 4x^{2}+ax+bx-30. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=19 ab=4\left(-30\right)=-120$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -120.

$$-1,120 -2,60 -3,40 -4,30 -5,24 -6,20 -8,15 -10,12$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+120=119 -2+60=58 -3+40=37 -4+30=26 -5+24=19 -6+20=14 -8+15=7 -10+12=2$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 19.

$$a=-5 b=24$$

שכתב את ‎4x^{2}+19x-30 כ- ‎\left(4x^{2}-5x\right)+\left(24x-30\right).

$$\left(4x^{2}-5x\right)+\left(24x-30\right)$$

הוצא את הגורם המשותף x בקבוצה הראשונה ואת 6 בקבוצה השניה.

$$x\left(4x-5\right)+6\left(4x-5\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 4x-5 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(4x-5\right)\left(x+6\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$4x^{2}+19x-30=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$x=\frac{-19±\sqrt{19^{2}-4\times 4\left(-30\right)}}{2\times 4}$$

‎19 בריבוע.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361-4\times 4\left(-30\right)}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎4.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361-16\left(-30\right)}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-16 ב- ‎-30.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361+480}}{2\times 4}$$

הוסף את ‎361 ל- ‎480.

$$x=\frac{-19±\sqrt{841}}{2\times 4}$$

הוצא את השורש הריבועי של 841.

$$x=\frac{-19±29}{2\times 4}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎4.

$$x=\frac{-19±29}{8}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-19±29}{8} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-19 ל- ‎29.

$$x=\frac{10}{8}$$

צמצם את השבר ‎\frac{10}{8} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x=\frac{5}{4}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-19±29}{8} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎29 מ- ‎-19.

$$x=-\frac{48}{8}$$

חלק את ‎-48 ב- ‎8.

$$x=-6$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎\frac{5}{4} במקום x_{1} וב- ‎-6 במקום x_{2}.

$$4x^{2}+19x-30=4\left(x-\frac{5}{4}\right)\left(x-\left(-6\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$4x^{2}+19x-30=4\left(x-\frac{5}{4}\right)\left(x+6\right)$$

החסר את x מ- \frac{5}{4} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$4x^{2}+19x-30=4\times \frac{4x-5}{4}\left(x+6\right)$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎4 ב- ‎4 ו- ‎4.

$$4x^{2}+19x-30=\left(4x-5\right)\left(x+6\right)$$

הערך

$$\left(4x-5\right)\left(x+6\right)$$