פתור את 39x^2+14x-9=0

$$39 { x }^{ 2 } +14x-9=0$$

פתור עבור x

$$x=-\frac{9}{13}\approx -0.692307692$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 39x^{2}+ax+bx-9. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=14 ab=39\left(-9\right)=-351$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -351.

$$-1,351 -3,117 -9,39 -13,27$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+351=350 -3+117=114 -9+39=30 -13+27=14$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 14.

$$a=-13 b=27$$

שכתב את ‎39x^{2}+14x-9 כ- ‎\left(39x^{2}-13x\right)+\left(27x-9\right).

$$\left(39x^{2}-13x\right)+\left(27x-9\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 13x בקבוצה הראשונה ואת 9 בקבוצה השניה.

$$13x\left(3x-1\right)+9\left(3x-1\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 3x-1 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(3x-1\right)\left(13x+9\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את 3x-1=0 ו- 13x+9=0.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{9}{13}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$39x^{2}+14x-9=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 39 במקום a, ב- 14 במקום b, וב- -9 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\times 39\left(-9\right)}}{2\times 39}$$

‎14 בריבוע.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\times 39\left(-9\right)}}{2\times 39}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎39.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-156\left(-9\right)}}{2\times 39}$$

הכפל את ‎-156 ב- ‎-9.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+1404}}{2\times 39}$$

הוסף את ‎196 ל- ‎1404.

$$x=\frac{-14±\sqrt{1600}}{2\times 39}$$

הוצא את השורש הריבועי של 1600.

$$x=\frac{-14±40}{2\times 39}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎39.

$$x=\frac{-14±40}{78}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-14±40}{78} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-14 ל- ‎40.

$$x=\frac{26}{78}$$

צמצם את השבר ‎\frac{26}{78} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 26.

$$x=\frac{1}{3}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-14±40}{78} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎40 מ- ‎-14.

$$x=-\frac{54}{78}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-54}{78} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 6.

$$x=-\frac{9}{13}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{9}{13}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$39x^{2}+14x-9=0$$

הוסף ‎9 לשני אגפי המשוואה.

$$39x^{2}+14x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

החסרת -9 מעצמו נותנת 0.

$$39x^{2}+14x=-\left(-9\right)$$

החסר ‎-9 מ- ‎0.

$$39x^{2}+14x=9$$

חלק את שני האגפים ב- ‎39.

$$\frac{39x^{2}+14x}{39}=\frac{9}{39}$$

חילוק ב- ‎39 מבטל את ההכפלה ב- ‎39.

$$x^{2}+\frac{14}{39}x=\frac{9}{39}$$

צמצם את השבר ‎\frac{9}{39} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 3.

$$x^{2}+\frac{14}{39}x=\frac{3}{13}$$

חלק את ‎\frac{14}{39}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{7}{39}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{7}{39} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}+\frac{14}{39}x+\left(\frac{7}{39}\right)^{2}=\frac{3}{13}+\left(\frac{7}{39}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{7}{39} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}+\frac{14}{39}x+\frac{49}{1521}=\frac{3}{13}+\frac{49}{1521}$$

הוסף את ‎\frac{3}{13} ל- ‎\frac{49}{1521} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}+\frac{14}{39}x+\frac{49}{1521}=\frac{400}{1521}$$

פרק x^{2}+\frac{14}{39}x+\frac{49}{1521} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{39}\right)^{2}=\frac{400}{1521}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{39}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{400}{1521}}$$

פשט.

$$x+\frac{7}{39}=\frac{20}{39} x+\frac{7}{39}=-\frac{20}{39}$$

החסר ‎\frac{7}{39} משני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{9}{13}$$