פתור את 37x^2-70x+25=0

$$37 x ^ { 2 } - 70 x + 25 = 0$$

פתור עבור x

$$x = \frac{10 \sqrt{3} + 35}{37} \approx 1.414067786$$

$$x=\frac{35-10\sqrt{3}}{37}\approx 0.477824106$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$37x^{2}-70x+25=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 37 במקום a, ב- -70 במקום b, וב- 25 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-70\right)±\sqrt{\left(-70\right)^{2}-4\times 37\times 25}}{2\times 37}$$

‎-70 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-70\right)±\sqrt{4900-4\times 37\times 25}}{2\times 37}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎37.

$$x=\frac{-\left(-70\right)±\sqrt{4900-148\times 25}}{2\times 37}$$

הכפל את ‎-148 ב- ‎25.

$$x=\frac{-\left(-70\right)±\sqrt{4900-3700}}{2\times 37}$$

הוסף את ‎4900 ל- ‎-3700.

$$x=\frac{-\left(-70\right)±\sqrt{1200}}{2\times 37}$$

הוצא את השורש הריבועי של 1200.

$$x=\frac{-\left(-70\right)±20\sqrt{3}}{2\times 37}$$

ההופכי של ‎-70 הוא ‎70.

$$x=\frac{70±20\sqrt{3}}{2\times 37}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎37.

$$x=\frac{70±20\sqrt{3}}{74}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{70±20\sqrt{3}}{74} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎70 ל- ‎20\sqrt{3}.

$$x=\frac{20\sqrt{3}+70}{74}$$

חלק את ‎70+20\sqrt{3} ב- ‎74.

$$x=\frac{10\sqrt{3}+35}{37}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{70±20\sqrt{3}}{74} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎20\sqrt{3} מ- ‎70.

$$x=\frac{70-20\sqrt{3}}{74}$$

חלק את ‎70-20\sqrt{3} ב- ‎74.

$$x=\frac{35-10\sqrt{3}}{37}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{10\sqrt{3}+35}{37} x=\frac{35-10\sqrt{3}}{37}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$37x^{2}-70x+25=0$$

החסר ‎25 משני אגפי המשוואה.

$$37x^{2}-70x+25-25=-25$$

החסרת 25 מעצמו נותנת 0.

$$37x^{2}-70x=-25$$

חלק את שני האגפים ב- ‎37.

$$\frac{37x^{2}-70x}{37}=-\frac{25}{37}$$

חילוק ב- ‎37 מבטל את ההכפלה ב- ‎37.

$$x^{2}-\frac{70}{37}x=-\frac{25}{37}$$

חלק את ‎-\frac{70}{37}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{35}{37}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{35}{37} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-\frac{70}{37}x+\left(-\frac{35}{37}\right)^{2}=-\frac{25}{37}+\left(-\frac{35}{37}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{35}{37} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-\frac{70}{37}x+\frac{1225}{1369}=-\frac{25}{37}+\frac{1225}{1369}$$

הוסף את ‎-\frac{25}{37} ל- ‎\frac{1225}{1369} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}-\frac{70}{37}x+\frac{1225}{1369}=\frac{300}{1369}$$

פרק x^{2}-\frac{70}{37}x+\frac{1225}{1369} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{35}{37}\right)^{2}=\frac{300}{1369}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{35}{37}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{300}{1369}}$$

פשט.

$$x-\frac{35}{37}=\frac{10\sqrt{3}}{37} x-\frac{35}{37}=-\frac{10\sqrt{3}}{37}$$

הוסף ‎\frac{35}{37} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{10\sqrt{3}+35}{37} x=\frac{35-10\sqrt{3}}{37}$$