פתור את 36x^2+60x+25

$$36 { x }^{ 2 } +60x+25$$

פרק לגורמים

$$\left(6x+5\right)^{2}$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 36x^{2}+ax+bx+25. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=60 ab=36\times 25=900$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא חיובי, a ו- b שניהם חיוביים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 900.

$$1,900 2,450 3,300 4,225 5,180 6,150 9,100 10,90 12,75 15,60 18,50 20,45 25,36 30,30$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1+900=901 2+450=452 3+300=303 4+225=229 5+180=185 6+150=156 9+100=109 10+90=100 12+75=87 15+60=75 18+50=68 20+45=65 25+36=61 30+30=60$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 60.

$$a=30 b=30$$

שכתב את ‎36x^{2}+60x+25 כ- ‎\left(36x^{2}+30x\right)+\left(30x+25\right).

$$\left(36x^{2}+30x\right)+\left(30x+25\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 6x בקבוצה הראשונה ואת 5 בקבוצה השניה.

$$6x\left(6x+5\right)+5\left(6x+5\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 6x+5 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(6x+5\right)\left(6x+5\right)$$

כתוב מחדש כריבוע בינומי.

$$\left(6x+5\right)^{2}$$

שלבים הכוללים שימוש בריבוע הבינום

לטרינום זה יש צורה של ריבוע טרינומי, שייתכן כי הוכפל בגורם משותף. ניתן לפרק ריבועים טרינומיים לגורמים על-ידי מציאת השורשים הריבועיים של האיבר המוביל והאיבר הנגרר.

$$factor(36x^{2}+60x+25)$$

מצא את הגורם המשותף הגדול ביותר של המקדמים.

$$gcf(36,60,25)=1$$

מצא את השורש הריבועי של האיבר המוביל, 36x^{2}.

$$\sqrt{36x^{2}}=6x$$

מצא את השורש הריבועי של האיבר הנגרר, 25.

$$\sqrt{25}=5$$

הריבוע הטרינומי הוא הריבוע של הבינום שהוא הסכום או ההפרש של השורשים הריבועיים של האיבר המוביל והאיבר הנגרר, כשהסימן נקבע לפי סימן האיבר האמצעי של הריבוע הטרינומי.

$$\left(6x+5\right)^{2}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$36x^{2}+60x+25=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$x=\frac{-60±\sqrt{60^{2}-4\times 36\times 25}}{2\times 36}$$

‎60 בריבוע.

$$x=\frac{-60±\sqrt{3600-4\times 36\times 25}}{2\times 36}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎36.

$$x=\frac{-60±\sqrt{3600-144\times 25}}{2\times 36}$$

הכפל את ‎-144 ב- ‎25.

$$x=\frac{-60±\sqrt{3600-3600}}{2\times 36}$$

הוסף את ‎3600 ל- ‎-3600.

$$x=\frac{-60±\sqrt{0}}{2\times 36}$$

הוצא את השורש הריבועי של 0.

$$x=\frac{-60±0}{2\times 36}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎36.

$$x=\frac{-60±0}{72}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎-\frac{5}{6} במקום x_{1} וב- ‎-\frac{5}{6} במקום x_{2}.

$$36x^{2}+60x+25=36\left(x-\left(-\frac{5}{6}\right)\right)\left(x-\left(-\frac{5}{6}\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$36x^{2}+60x+25=36\left(x+\frac{5}{6}\right)\left(x+\frac{5}{6}\right)$$

הוסף את ‎\frac{5}{6} ל- ‎x על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$36x^{2}+60x+25=36\times \frac{6x+5}{6}\left(x+\frac{5}{6}\right)$$

הוסף את ‎\frac{5}{6} ל- ‎x על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$36x^{2}+60x+25=36\times \frac{6x+5}{6}\times \frac{6x+5}{6}$$

הכפל את ‎\frac{6x+5}{6} ב- ‎\frac{6x+5}{6} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$36x^{2}+60x+25=36\times \frac{\left(6x+5\right)\left(6x+5\right)}{6\times 6}$$

הכפל את ‎6 ב- ‎6.

$$36x^{2}+60x+25=36\times \frac{\left(6x+5\right)\left(6x+5\right)}{36}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎36 ב- ‎36 ו- ‎36.

$$36x^{2}+60x+25=\left(6x+5\right)\left(6x+5\right)$$

הערך

$$\left(6x+5\right)^{2}$$