פתור את 3z^2+16z+20

$$3 z ^ { 2 } + 16 z + 20$$

פרק לגורמים

$$\left(z+2\right)\left(3z+10\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 3z^{2}+az+bz+20. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=16 ab=3\times 20=60$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא חיובי, a ו- b שניהם חיוביים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 60.

$$1,60 2,30 3,20 4,15 5,12 6,10$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1+60=61 2+30=32 3+20=23 4+15=19 5+12=17 6+10=16$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 16.

$$a=6 b=10$$

שכתב את ‎3z^{2}+16z+20 כ- ‎\left(3z^{2}+6z\right)+\left(10z+20\right).

$$\left(3z^{2}+6z\right)+\left(10z+20\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 3z בקבוצה הראשונה ואת 10 בקבוצה השניה.

$$3z\left(z+2\right)+10\left(z+2\right)$$

הוצא את האיבר המשותף z+2 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(z+2\right)\left(3z+10\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$3z^{2}+16z+20=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$z=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\times 3\times 20}}{2\times 3}$$

‎16 בריבוע.

$$z=\frac{-16±\sqrt{256-4\times 3\times 20}}{2\times 3}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎3.

$$z=\frac{-16±\sqrt{256-12\times 20}}{2\times 3}$$

הכפל את ‎-12 ב- ‎20.

$$z=\frac{-16±\sqrt{256-240}}{2\times 3}$$

הוסף את ‎256 ל- ‎-240.

$$z=\frac{-16±\sqrt{16}}{2\times 3}$$

הוצא את השורש הריבועי של 16.

$$z=\frac{-16±4}{2\times 3}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎3.

$$z=\frac{-16±4}{6}$$

כעת פתור את המשוואה z=\frac{-16±4}{6} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-16 ל- ‎4.

$$z=-\frac{12}{6}$$

חלק את ‎-12 ב- ‎6.

$$z=-2$$

כעת פתור את המשוואה z=\frac{-16±4}{6} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎4 מ- ‎-16.

$$z=-\frac{20}{6}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-20}{6} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$z=-\frac{10}{3}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎-2 במקום x_{1} וב- ‎-\frac{10}{3} במקום x_{2}.

$$3z^{2}+16z+20=3\left(z-\left(-2\right)\right)\left(z-\left(-\frac{10}{3}\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$3z^{2}+16z+20=3\left(z+2\right)\left(z+\frac{10}{3}\right)$$

הוסף את ‎\frac{10}{3} ל- ‎z על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$3z^{2}+16z+20=3\left(z+2\right)\times \frac{3z+10}{3}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎3 ב- ‎3 ו- ‎3.

$$3z^{2}+16z+20=\left(z+2\right)\left(3z+10\right)$$

הערך

$$\left(z+2\right)\left(3z+10\right)$$