פתור את 3x^4+24x^3+48x^2-x^2-8x-16

$$3 x ^ { 4 } + 24 x ^ { 3 } + 48 x ^ { 2 } - x ^ { 2 } - 8 x - 16$$

פרק לגורמים

$$\left(3x^{2}-1\right)\left(x+4\right)^{2}$$

שלבי פתרון

הכפל וכנס איברים דומים.

$$3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16$$

כדי לפרק את הביטוי, פתור את המשוואה שבה היא שווה ל 0.

$$3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16=0$$

לפי משפט השורש הרציונלי, כל השורשים הרציונליים של פולינום הם בצורה \frac{p}{q}, כאשר p מחלק את האיבר הקבוע -16 ו- q מחלק את המקדם המוביל 3. פרט את כל המועמדים \frac{p}{q}.

$$±\frac{16}{3},±16,±\frac{8}{3},±8,±\frac{4}{3},±4,±\frac{2}{3},±2,±\frac{1}{3},±1$$

מצא שורש כזה בכך שתנסה את כל ערכי המספרים השלמים, החל מהערך הקטן ביותר לפי ערך מוחלט. אם לא נמצאו שורשי מספרים שלמים, נסה שברים.

$$x=-4$$

לפי משפט הגורמים , x-k הוא גורם של הפולינום עבור כל שורש k. חלק את ‎3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16 ב- ‎x+4 כדי לקבל ‎3x^{3}+12x^{2}-x-4. כדי לפרק את התוצאה, פתור את המשוואה שבה היא שווה ל 0.

$$3x^{3}+12x^{2}-x-4=0$$

לפי משפט השורש הרציונלי, כל השורשים הרציונליים של פולינום הם בצורה \frac{p}{q}, כאשר p מחלק את האיבר הקבוע -4 ו- q מחלק את המקדם המוביל 3. פרט את כל המועמדים \frac{p}{q}.

$$±\frac{4}{3},±4,±\frac{2}{3},±2,±\frac{1}{3},±1$$

מצא שורש כזה בכך שתנסה את כל ערכי המספרים השלמים, החל מהערך הקטן ביותר לפי ערך מוחלט. אם לא נמצאו שורשי מספרים שלמים, נסה שברים.

$$x=-4$$

לפי משפט הגורמים , x-k הוא גורם של הפולינום עבור כל שורש k. חלק את ‎3x^{3}+12x^{2}-x-4 ב- ‎x+4 כדי לקבל ‎3x^{2}-1. כדי לפרק את התוצאה, פתור את המשוואה שבה היא שווה ל 0.

$$3x^{2}-1=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: ‎\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}‎. החלף את ‎3 ב- a, את ‎0 ב- b ואת ‎-1 ב- c בנוסחה הריבועית.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

בצע את החישובים.

$$x=\frac{0±2\sqrt{3}}{6}$$

פתור את המשוואה ‎3x^{2}-1=0 כאשר ± הוא סימן חיבור וכאשר ± הוא סימן חיסור.

$$x=-\frac{\sqrt{3}}{3} x=\frac{\sqrt{3}}{3}$$

שכתב את הביטוי המפורק לגורמים באמצעות השורשים שהתקבלו. הפולינום 3x^{2}-1 אינו מפורק לגורמים מכיוון שאין לו שורשים רציונליים.

$$\left(3x^{2}-1\right)\left(x+4\right)^{2}$$

הערך

$$\left(3x^{2}-1\right)\left(x+4\right)^{2}$$

שלבי פתרון

כנס את ‎48x^{2} ו- ‎-x^{2} כדי לקבל ‎47x^{2}.

$$3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16$$