פתור את 3x^2-11x-4<0

$$3 x ^ { 2 } - 11 x - 4 < 0$$

פתור עבור x

$$x\in \left(-\frac{1}{3},4\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

כדי לפתור את אי-השוויון, פרק לגורמים את האגף השמאלי. ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$3x^{2}-11x-4=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: ‎\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}‎. החלף את ‎3 ב- a, את ‎-11 ב- b ואת ‎-4 ב- c בנוסחה הריבועית.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 3\left(-4\right)}}{2\times 3}$$

בצע את החישובים.

$$x=\frac{11±13}{6}$$

פתור את המשוואה ‎x=\frac{11±13}{6} כאשר ± הוא סימן חיבור וכאשר ± הוא סימן חיסור.

$$x=4 x=-\frac{1}{3}$$

שכתב את אי-שוויון באמצעות הפתרונות שהתקבלו.

$$3\left(x-4\right)\left(x+\frac{1}{3}\right)<0$$

כדי שהמכפלה תהיה שלילית, הסימנים של ‎x-4 ו- ‎x+\frac{1}{3} צריכים להיות מנוגדים. שקול את המקרה כאשר ‎x-4 הוא חיובי ו- ‎x+\frac{1}{3} הוא שלילי.

$$x-4>0 x+\frac{1}{3}<0$$

זהו שקר עבור כל x.

$$x\in \emptyset$$

שקול את המקרה כאשר ‎x+\frac{1}{3} הוא חיובי ו- ‎x-4 הוא שלילי.

$$x+\frac{1}{3}>0 x-4<0$$

הפתרון העונה על שני מצבי אי-השוויון הוא ‎x\in \left(-\frac{1}{3},4\right).

$$x\in \left(-\frac{1}{3},4\right)$$

הפתרון הסופי הוא האיחוד של הפתרונות שהתקבלו.

$$x\in \left(-\frac{1}{3},4\right)$$