פתור את 3x^2+8x-11=0

$$3 x ^ { 2 } + 8 x - 11 = 0$$

פתור עבור x

$$x = -\frac{11}{3} = -3\frac{2}{3} \approx -3.666666667$$

$$x=1$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 3x^{2}+ax+bx-11. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=8 ab=3\left(-11\right)=-33$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -33.

$$-1,33 -3,11$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+33=32 -3+11=8$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 8.

$$a=-3 b=11$$

שכתב את ‎3x^{2}+8x-11 כ- ‎\left(3x^{2}-3x\right)+\left(11x-11\right).

$$\left(3x^{2}-3x\right)+\left(11x-11\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 3x בקבוצה הראשונה ואת 11 בקבוצה השניה.

$$3x\left(x-1\right)+11\left(x-1\right)$$

הוצא את האיבר המשותף x-1 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(x-1\right)\left(3x+11\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את x-1=0 ו- 3x+11=0.

$$x=1 x=-\frac{11}{3}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$3x^{2}+8x-11=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 3 במקום a, ב- 8 במקום b, וב- -11 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 3\left(-11\right)}}{2\times 3}$$

‎8 בריבוע.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 3\left(-11\right)}}{2\times 3}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎3.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-12\left(-11\right)}}{2\times 3}$$

הכפל את ‎-12 ב- ‎-11.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+132}}{2\times 3}$$

הוסף את ‎64 ל- ‎132.

$$x=\frac{-8±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

הוצא את השורש הריבועי של 196.

$$x=\frac{-8±14}{2\times 3}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎3.

$$x=\frac{-8±14}{6}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-8±14}{6} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-8 ל- ‎14.

$$x=\frac{6}{6}$$

חלק את ‎6 ב- ‎6.

$$x=1$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-8±14}{6} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎14 מ- ‎-8.

$$x=-\frac{22}{6}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-22}{6} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x=-\frac{11}{3}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=1 x=-\frac{11}{3}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+8x-11=0$$

הוסף ‎11 לשני אגפי המשוואה.

$$3x^{2}+8x-11-\left(-11\right)=-\left(-11\right)$$

החסרת -11 מעצמו נותנת 0.

$$3x^{2}+8x=-\left(-11\right)$$

החסר ‎-11 מ- ‎0.

$$3x^{2}+8x=11$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$\frac{3x^{2}+8x}{3}=\frac{11}{3}$$

חילוק ב- ‎3 מבטל את ההכפלה ב- ‎3.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x=\frac{11}{3}$$

חלק את ‎\frac{8}{3}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{4}{3}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{4}{3} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{11}{3}+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{4}{3} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{11}{3}+\frac{16}{9}$$

הוסף את ‎\frac{11}{3} ל- ‎\frac{16}{9} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{49}{9}$$

פרק x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

פשט.

$$x+\frac{4}{3}=\frac{7}{3} x+\frac{4}{3}=-\frac{7}{3}$$

החסר ‎\frac{4}{3} משני אגפי המשוואה.

$$x=1 x=-\frac{11}{3}$$