פתור את 3n^2-n-420

$$3 n ^ { 2 } - n - 420$$

פרק לגורמים

$$\left(n-12\right)\left(3n+35\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 3n^{2}+an+bn-420. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-1 ab=3\left(-420\right)=-1260$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -1260.

$$1,-1260 2,-630 3,-420 4,-315 5,-252 6,-210 7,-180 9,-140 10,-126 12,-105 14,-90 15,-84 18,-70 20,-63 21,-60 28,-45 30,-42 35,-36$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-1260=-1259 2-630=-628 3-420=-417 4-315=-311 5-252=-247 6-210=-204 7-180=-173 9-140=-131 10-126=-116 12-105=-93 14-90=-76 15-84=-69 18-70=-52 20-63=-43 21-60=-39 28-45=-17 30-42=-12 35-36=-1$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -1.

$$a=-36 b=35$$

שכתב את ‎3n^{2}-n-420 כ- ‎\left(3n^{2}-36n\right)+\left(35n-420\right).

$$\left(3n^{2}-36n\right)+\left(35n-420\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 3n בקבוצה הראשונה ואת 35 בקבוצה השניה.

$$3n\left(n-12\right)+35\left(n-12\right)$$

הוצא את האיבר המשותף n-12 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(n-12\right)\left(3n+35\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$3n^{2}-n-420=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 3\left(-420\right)}}{2\times 3}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎3.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-12\left(-420\right)}}{2\times 3}$$

הכפל את ‎-12 ב- ‎-420.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+5040}}{2\times 3}$$

הוסף את ‎1 ל- ‎5040.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{5041}}{2\times 3}$$

הוצא את השורש הריבועי של 5041.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±71}{2\times 3}$$

ההופכי של ‎-1 הוא ‎1.

$$n=\frac{1±71}{2\times 3}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎3.

$$n=\frac{1±71}{6}$$

כעת פתור את המשוואה n=\frac{1±71}{6} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎1 ל- ‎71.

$$n=\frac{72}{6}$$

חלק את ‎72 ב- ‎6.

$$n=12$$

כעת פתור את המשוואה n=\frac{1±71}{6} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎71 מ- ‎1.

$$n=-\frac{70}{6}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-70}{6} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$n=-\frac{35}{3}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎12 במקום x_{1} וב- ‎-\frac{35}{3} במקום x_{2}.

$$3n^{2}-n-420=3\left(n-12\right)\left(n-\left(-\frac{35}{3}\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$3n^{2}-n-420=3\left(n-12\right)\left(n+\frac{35}{3}\right)$$

הוסף את ‎\frac{35}{3} ל- ‎n על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$3n^{2}-n-420=3\left(n-12\right)\times \frac{3n+35}{3}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎3 ב- ‎3 ו- ‎3.

$$3n^{2}-n-420=\left(n-12\right)\left(3n+35\right)$$

הערך

$$\left(n-12\right)\left(3n+35\right)$$