פתור את 3n^2+3n+1=1141

$$3 n ^ { 2 } + 3 n + 1 = 1141$$

פתור עבור n

$$n=-20$$

$$n=19$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

החסר ‎1141 משני האגפים.

$$3n^{2}+3n+1-1141=0$$

החסר את 1141 מ- 1 כדי לקבל -1140.

$$3n^{2}+3n-1140=0$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$n^{2}+n-380=0$$

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- n^{2}+an+bn-380. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=1 ab=1\left(-380\right)=-380$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -380.

$$-1,380 -2,190 -4,95 -5,76 -10,38 -19,20$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+380=379 -2+190=188 -4+95=91 -5+76=71 -10+38=28 -19+20=1$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 1.

$$a=-19 b=20$$

שכתב את ‎n^{2}+n-380 כ- ‎\left(n^{2}-19n\right)+\left(20n-380\right).

$$\left(n^{2}-19n\right)+\left(20n-380\right)$$

הוצא את הגורם המשותף n בקבוצה הראשונה ואת 20 בקבוצה השניה.

$$n\left(n-19\right)+20\left(n-19\right)$$

הוצא את האיבר המשותף n-19 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(n-19\right)\left(n+20\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את n-19=0 ו- n+20=0.

$$n=19 n=-20$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$3n^{2}+3n+1=1141$$

החסר ‎1141 משני אגפי המשוואה.

$$3n^{2}+3n+1-1141=1141-1141$$

החסרת 1141 מעצמו נותנת 0.

$$3n^{2}+3n+1-1141=0$$

החסר ‎1141 מ- ‎1.

$$3n^{2}+3n-1140=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 3 במקום a, ב- 3 במקום b, וב- -1140 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 3\left(-1140\right)}}{2\times 3}$$

‎3 בריבוע.

$$n=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 3\left(-1140\right)}}{2\times 3}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎3.

$$n=\frac{-3±\sqrt{9-12\left(-1140\right)}}{2\times 3}$$

הכפל את ‎-12 ב- ‎-1140.

$$n=\frac{-3±\sqrt{9+13680}}{2\times 3}$$

הוסף את ‎9 ל- ‎13680.

$$n=\frac{-3±\sqrt{13689}}{2\times 3}$$

הוצא את השורש הריבועי של 13689.

$$n=\frac{-3±117}{2\times 3}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎3.

$$n=\frac{-3±117}{6}$$

כעת פתור את המשוואה n=\frac{-3±117}{6} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-3 ל- ‎117.

$$n=\frac{114}{6}$$

חלק את ‎114 ב- ‎6.

$$n=19$$

כעת פתור את המשוואה n=\frac{-3±117}{6} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎117 מ- ‎-3.

$$n=-\frac{120}{6}$$

חלק את ‎-120 ב- ‎6.

$$n=-20$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$n=19 n=-20$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$3n^{2}+3n+1=1141$$

החסר ‎1 משני אגפי המשוואה.

$$3n^{2}+3n+1-1=1141-1$$

החסרת 1 מעצמו נותנת 0.

$$3n^{2}+3n=1141-1$$

החסר ‎1 מ- ‎1141.

$$3n^{2}+3n=1140$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$\frac{3n^{2}+3n}{3}=\frac{1140}{3}$$

חילוק ב- ‎3 מבטל את ההכפלה ב- ‎3.

$$n^{2}+\frac{3}{3}n=\frac{1140}{3}$$

חלק את ‎3 ב- ‎3.

$$n^{2}+n=\frac{1140}{3}$$

חלק את ‎1140 ב- ‎3.

$$n^{2}+n=380$$

חלק את ‎1, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{1}{2}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{1}{2} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$n^{2}+n+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=380+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{1}{2} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$n^{2}+n+\frac{1}{4}=380+\frac{1}{4}$$

הוסף את ‎380 ל- ‎\frac{1}{4}.

$$n^{2}+n+\frac{1}{4}=\frac{1521}{4}$$

פרק n^{2}+n+\frac{1}{4} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1521}{4}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(n+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1521}{4}}$$

פשט.

$$n+\frac{1}{2}=\frac{39}{2} n+\frac{1}{2}=-\frac{39}{2}$$

החסר ‎\frac{1}{2} משני אגפי המשוואה.

$$n=19 n=-20$$