פתור את 3a^2+8a-3

$$3 a ^ { 2 } + 8 a - 3$$

פרק לגורמים

$$\left(3a-1\right)\left(a+3\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 3a^{2}+pa+qa-3. כדי למצוא את p ו- q, הגדר מערכת לפתרון.

$$p+q=8 pq=3\left(-3\right)=-9$$

מאחר ש- pq הוא שלילי, ל- p ול- q יש סימנים הפוכים. מאחר ש- p+q הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -9.

$$-1,9 -3,3$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+9=8 -3+3=0$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 8.

$$p=-1 q=9$$

שכתב את ‎3a^{2}+8a-3 כ- ‎\left(3a^{2}-a\right)+\left(9a-3\right).

$$\left(3a^{2}-a\right)+\left(9a-3\right)$$

הוצא את הגורם המשותף a בקבוצה הראשונה ואת 3 בקבוצה השניה.

$$a\left(3a-1\right)+3\left(3a-1\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 3a-1 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(3a-1\right)\left(a+3\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$3a^{2}+8a-3=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$a=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 3\left(-3\right)}}{2\times 3}$$

‎8 בריבוע.

$$a=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 3\left(-3\right)}}{2\times 3}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎3.

$$a=\frac{-8±\sqrt{64-12\left(-3\right)}}{2\times 3}$$

הכפל את ‎-12 ב- ‎-3.

$$a=\frac{-8±\sqrt{64+36}}{2\times 3}$$

הוסף את ‎64 ל- ‎36.

$$a=\frac{-8±\sqrt{100}}{2\times 3}$$

הוצא את השורש הריבועי של 100.

$$a=\frac{-8±10}{2\times 3}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎3.

$$a=\frac{-8±10}{6}$$

כעת פתור את המשוואה a=\frac{-8±10}{6} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-8 ל- ‎10.

$$a=\frac{2}{6}$$

צמצם את השבר ‎\frac{2}{6} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$a=\frac{1}{3}$$

כעת פתור את המשוואה a=\frac{-8±10}{6} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎10 מ- ‎-8.

$$a=-\frac{18}{6}$$

חלק את ‎-18 ב- ‎6.

$$a=-3$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎\frac{1}{3} במקום x_{1} וב- ‎-3 במקום x_{2}.

$$3a^{2}+8a-3=3\left(a-\frac{1}{3}\right)\left(a-\left(-3\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$3a^{2}+8a-3=3\left(a-\frac{1}{3}\right)\left(a+3\right)$$

החסר את a מ- \frac{1}{3} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$3a^{2}+8a-3=3\times \frac{3a-1}{3}\left(a+3\right)$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎3 ב- ‎3 ו- ‎3.

$$3a^{2}+8a-3=\left(3a-1\right)\left(a+3\right)$$

הערך

$$\left(3a-1\right)\left(a+3\right)$$