פתור את 3r^2-10r+3=0

$$3 { r }^{ 2 } -10r+3 = 0$$

פתור עבור r

$$r=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

$$r=3$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 3r^{2}+ar+br+3. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-10 ab=3\times 3=9$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא שלילי, a ו- b שניהם שליליים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 9.

$$-1,-9 -3,-3$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1-9=-10 -3-3=-6$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -10.

$$a=-9 b=-1$$

שכתב את ‎3r^{2}-10r+3 כ- ‎\left(3r^{2}-9r\right)+\left(-r+3\right).

$$\left(3r^{2}-9r\right)+\left(-r+3\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 3r בקבוצה הראשונה ואת -1 בקבוצה השניה.

$$3r\left(r-3\right)-\left(r-3\right)$$

הוצא את האיבר המשותף r-3 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(r-3\right)\left(3r-1\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את r-3=0 ו- 3r-1=0.

$$r=3 r=\frac{1}{3}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$3r^{2}-10r+3=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 3 במקום a, ב- -10 במקום b, וב- 3 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$r=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 3\times 3}}{2\times 3}$$

‎-10 בריבוע.

$$r=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 3\times 3}}{2\times 3}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎3.

$$r=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-12\times 3}}{2\times 3}$$

הכפל את ‎-12 ב- ‎3.

$$r=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-36}}{2\times 3}$$

הוסף את ‎100 ל- ‎-36.

$$r=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{64}}{2\times 3}$$

הוצא את השורש הריבועי של 64.

$$r=\frac{-\left(-10\right)±8}{2\times 3}$$

ההופכי של ‎-10 הוא ‎10.

$$r=\frac{10±8}{2\times 3}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎3.

$$r=\frac{10±8}{6}$$

כעת פתור את המשוואה r=\frac{10±8}{6} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎10 ל- ‎8.

$$r=\frac{18}{6}$$

חלק את ‎18 ב- ‎6.

$$r=3$$

כעת פתור את המשוואה r=\frac{10±8}{6} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎8 מ- ‎10.

$$r=\frac{2}{6}$$

צמצם את השבר ‎\frac{2}{6} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$r=\frac{1}{3}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$r=3 r=\frac{1}{3}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$3r^{2}-10r+3=0$$

החסר ‎3 משני אגפי המשוואה.

$$3r^{2}-10r+3-3=-3$$

החסרת 3 מעצמו נותנת 0.

$$3r^{2}-10r=-3$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$\frac{3r^{2}-10r}{3}=-\frac{3}{3}$$

חילוק ב- ‎3 מבטל את ההכפלה ב- ‎3.

$$r^{2}-\frac{10}{3}r=-\frac{3}{3}$$

חלק את ‎-3 ב- ‎3.

$$r^{2}-\frac{10}{3}r=-1$$

חלק את ‎-\frac{10}{3}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{5}{3}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{5}{3} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$r^{2}-\frac{10}{3}r+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}=-1+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{5}{3} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$r^{2}-\frac{10}{3}r+\frac{25}{9}=-1+\frac{25}{9}$$

הוסף את ‎-1 ל- ‎\frac{25}{9}.

$$r^{2}-\frac{10}{3}r+\frac{25}{9}=\frac{16}{9}$$

פרק r^{2}-\frac{10}{3}r+\frac{25}{9} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(r-\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{16}{9}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(r-\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{16}{9}}$$

פשט.

$$r-\frac{5}{3}=\frac{4}{3} r-\frac{5}{3}=-\frac{4}{3}$$

הוסף ‎\frac{5}{3} לשני אגפי המשוואה.

$$r=3 r=\frac{1}{3}$$