פתור את 28x^2-8x-48=0

$$28 x ^ { 2 } - 8 x - 48 = 0$$

פתור עבור x

$$x = \frac{\sqrt{85} + 1}{7} \approx 1.459934922$$

$$x=\frac{1-\sqrt{85}}{7}\approx -1.174220637$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$28x^{2}-8x-48=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 28 במקום a, ב- -8 במקום b, וב- -48 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 28\left(-48\right)}}{2\times 28}$$

‎-8 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 28\left(-48\right)}}{2\times 28}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎28.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-112\left(-48\right)}}{2\times 28}$$

הכפל את ‎-112 ב- ‎-48.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+5376}}{2\times 28}$$

הוסף את ‎64 ל- ‎5376.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{5440}}{2\times 28}$$

הוצא את השורש הריבועי של 5440.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±8\sqrt{85}}{2\times 28}$$

ההופכי של ‎-8 הוא ‎8.

$$x=\frac{8±8\sqrt{85}}{2\times 28}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎28.

$$x=\frac{8±8\sqrt{85}}{56}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{8±8\sqrt{85}}{56} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎8 ל- ‎8\sqrt{85}.

$$x=\frac{8\sqrt{85}+8}{56}$$

חלק את ‎8+8\sqrt{85} ב- ‎56.

$$x=\frac{\sqrt{85}+1}{7}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{8±8\sqrt{85}}{56} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎8\sqrt{85} מ- ‎8.

$$x=\frac{8-8\sqrt{85}}{56}$$

חלק את ‎8-8\sqrt{85} ב- ‎56.

$$x=\frac{1-\sqrt{85}}{7}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{\sqrt{85}+1}{7} x=\frac{1-\sqrt{85}}{7}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$28x^{2}-8x-48=0$$

הוסף ‎48 לשני אגפי המשוואה.

$$28x^{2}-8x-48-\left(-48\right)=-\left(-48\right)$$

החסרת -48 מעצמו נותנת 0.

$$28x^{2}-8x=-\left(-48\right)$$

החסר ‎-48 מ- ‎0.

$$28x^{2}-8x=48$$

חלק את שני האגפים ב- ‎28.

$$\frac{28x^{2}-8x}{28}=\frac{48}{28}$$

חילוק ב- ‎28 מבטל את ההכפלה ב- ‎28.

$$x^{2}+\left(-\frac{8}{28}\right)x=\frac{48}{28}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-8}{28} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 4.

$$x^{2}-\frac{2}{7}x=\frac{48}{28}$$

צמצם את השבר ‎\frac{48}{28} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 4.

$$x^{2}-\frac{2}{7}x=\frac{12}{7}$$

חלק את ‎-\frac{2}{7}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{1}{7}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{1}{7} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-\frac{2}{7}x+\left(-\frac{1}{7}\right)^{2}=\frac{12}{7}+\left(-\frac{1}{7}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{1}{7} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-\frac{2}{7}x+\frac{1}{49}=\frac{12}{7}+\frac{1}{49}$$

הוסף את ‎\frac{12}{7} ל- ‎\frac{1}{49} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}-\frac{2}{7}x+\frac{1}{49}=\frac{85}{49}$$

פרק x^{2}-\frac{2}{7}x+\frac{1}{49} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{7}\right)^{2}=\frac{85}{49}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{85}{49}}$$

פשט.

$$x-\frac{1}{7}=\frac{\sqrt{85}}{7} x-\frac{1}{7}=-\frac{\sqrt{85}}{7}$$

הוסף ‎\frac{1}{7} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{\sqrt{85}+1}{7} x=\frac{1-\sqrt{85}}{7}$$