פתור את 25y^2-54y-63=0

$$25 y ^ { 2 } - 54 y - 63 = 0$$

פתור עבור y

$$y=-\frac{21}{25}=-0.84$$

$$y=3$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 25y^{2}+ay+by-63. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-54 ab=25\left(-63\right)=-1575$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -1575.

$$1,-1575 3,-525 5,-315 7,-225 9,-175 15,-105 21,-75 25,-63 35,-45$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-1575=-1574 3-525=-522 5-315=-310 7-225=-218 9-175=-166 15-105=-90 21-75=-54 25-63=-38 35-45=-10$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -54.

$$a=-75 b=21$$

שכתב את ‎25y^{2}-54y-63 כ- ‎\left(25y^{2}-75y\right)+\left(21y-63\right).

$$\left(25y^{2}-75y\right)+\left(21y-63\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 25y בקבוצה הראשונה ואת 21 בקבוצה השניה.

$$25y\left(y-3\right)+21\left(y-3\right)$$

הוצא את האיבר המשותף y-3 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(y-3\right)\left(25y+21\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את y-3=0 ו- 25y+21=0.

$$y=3 y=-\frac{21}{25}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$25y^{2}-54y-63=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 25 במקום a, ב- -54 במקום b, וב- -63 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{\left(-54\right)^{2}-4\times 25\left(-63\right)}}{2\times 25}$$

‎-54 בריבוע.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-4\times 25\left(-63\right)}}{2\times 25}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎25.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-100\left(-63\right)}}{2\times 25}$$

הכפל את ‎-100 ב- ‎-63.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916+6300}}{2\times 25}$$

הוסף את ‎2916 ל- ‎6300.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{9216}}{2\times 25}$$

הוצא את השורש הריבועי של 9216.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±96}{2\times 25}$$

ההופכי של ‎-54 הוא ‎54.

$$y=\frac{54±96}{2\times 25}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎25.

$$y=\frac{54±96}{50}$$

כעת פתור את המשוואה y=\frac{54±96}{50} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎54 ל- ‎96.

$$y=\frac{150}{50}$$

חלק את ‎150 ב- ‎50.

$$y=3$$

כעת פתור את המשוואה y=\frac{54±96}{50} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎96 מ- ‎54.

$$y=-\frac{42}{50}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-42}{50} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$y=-\frac{21}{25}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$y=3 y=-\frac{21}{25}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$25y^{2}-54y-63=0$$

הוסף ‎63 לשני אגפי המשוואה.

$$25y^{2}-54y-63-\left(-63\right)=-\left(-63\right)$$

החסרת -63 מעצמו נותנת 0.

$$25y^{2}-54y=-\left(-63\right)$$

החסר ‎-63 מ- ‎0.

$$25y^{2}-54y=63$$

חלק את שני האגפים ב- ‎25.

$$\frac{25y^{2}-54y}{25}=\frac{63}{25}$$

חילוק ב- ‎25 מבטל את ההכפלה ב- ‎25.

$$y^{2}-\frac{54}{25}y=\frac{63}{25}$$

חלק את ‎-\frac{54}{25}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{27}{25}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{27}{25} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$y^{2}-\frac{54}{25}y+\left(-\frac{27}{25}\right)^{2}=\frac{63}{25}+\left(-\frac{27}{25}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{27}{25} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$y^{2}-\frac{54}{25}y+\frac{729}{625}=\frac{63}{25}+\frac{729}{625}$$

הוסף את ‎\frac{63}{25} ל- ‎\frac{729}{625} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$y^{2}-\frac{54}{25}y+\frac{729}{625}=\frac{2304}{625}$$

פרק y^{2}-\frac{54}{25}y+\frac{729}{625} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{27}{25}\right)^{2}=\frac{2304}{625}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(y-\frac{27}{25}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2304}{625}}$$

פשט.

$$y-\frac{27}{25}=\frac{48}{25} y-\frac{27}{25}=-\frac{48}{25}$$

הוסף ‎\frac{27}{25} לשני אגפי המשוואה.

$$y=3 y=-\frac{21}{25}$$