פתור את 25x^2-10x-x^2-25=0

$$25 x ^ { 2 } - 10 x - x ^ { 2 } - 25 = 0$$

פתור עבור x

$$x=-\frac{5}{6}\approx -0.833333333$$

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1.25$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כנס את ‎25x^{2} ו- ‎-x^{2} כדי לקבל ‎24x^{2}.

$$24x^{2}-10x-25=0$$

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 24x^{2}+ax+bx-25. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-10 ab=24\left(-25\right)=-600$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -600.

$$1,-600 2,-300 3,-200 4,-150 5,-120 6,-100 8,-75 10,-60 12,-50 15,-40 20,-30 24,-25$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-600=-599 2-300=-298 3-200=-197 4-150=-146 5-120=-115 6-100=-94 8-75=-67 10-60=-50 12-50=-38 15-40=-25 20-30=-10 24-25=-1$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -10.

$$a=-30 b=20$$

שכתב את ‎24x^{2}-10x-25 כ- ‎\left(24x^{2}-30x\right)+\left(20x-25\right).

$$\left(24x^{2}-30x\right)+\left(20x-25\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 6x בקבוצה הראשונה ואת 5 בקבוצה השניה.

$$6x\left(4x-5\right)+5\left(4x-5\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 4x-5 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(4x-5\right)\left(6x+5\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את 4x-5=0 ו- 6x+5=0.

$$x=\frac{5}{4} x=-\frac{5}{6}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

כנס את ‎25x^{2} ו- ‎-x^{2} כדי לקבל ‎24x^{2}.

$$24x^{2}-10x-25=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 24 במקום a, ב- -10 במקום b, וב- -25 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 24\left(-25\right)}}{2\times 24}$$

‎-10 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 24\left(-25\right)}}{2\times 24}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎24.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-96\left(-25\right)}}{2\times 24}$$

הכפל את ‎-96 ב- ‎-25.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100+2400}}{2\times 24}$$

הוסף את ‎100 ל- ‎2400.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{2500}}{2\times 24}$$

הוצא את השורש הריבועי של 2500.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±50}{2\times 24}$$

ההופכי של ‎-10 הוא ‎10.

$$x=\frac{10±50}{2\times 24}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎24.

$$x=\frac{10±50}{48}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{10±50}{48} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎10 ל- ‎50.

$$x=\frac{60}{48}$$

צמצם את השבר ‎\frac{60}{48} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 12.

$$x=\frac{5}{4}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{10±50}{48} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎50 מ- ‎10.

$$x=-\frac{40}{48}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-40}{48} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 8.

$$x=-\frac{5}{6}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{5}{4} x=-\frac{5}{6}$$

שלבים להשלמת הריבוע

כנס את ‎25x^{2} ו- ‎-x^{2} כדי לקבל ‎24x^{2}.

$$24x^{2}-10x-25=0$$

הוסף ‎25 משני הצדדים. כל מספר ועוד אפס שווה לעצמו.

$$24x^{2}-10x=25$$

חלק את שני האגפים ב- ‎24.

$$\frac{24x^{2}-10x}{24}=\frac{25}{24}$$

חילוק ב- ‎24 מבטל את ההכפלה ב- ‎24.

$$x^{2}+\left(-\frac{10}{24}\right)x=\frac{25}{24}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-10}{24} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x^{2}-\frac{5}{12}x=\frac{25}{24}$$

חלק את ‎-\frac{5}{12}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{5}{24}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{5}{24} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-\frac{5}{12}x+\left(-\frac{5}{24}\right)^{2}=\frac{25}{24}+\left(-\frac{5}{24}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{5}{24} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-\frac{5}{12}x+\frac{25}{576}=\frac{25}{24}+\frac{25}{576}$$

הוסף את ‎\frac{25}{24} ל- ‎\frac{25}{576} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}-\frac{5}{12}x+\frac{25}{576}=\frac{625}{576}$$

פרק x^{2}-\frac{5}{12}x+\frac{25}{576} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{24}\right)^{2}=\frac{625}{576}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{576}}$$

פשט.

$$x-\frac{5}{24}=\frac{25}{24} x-\frac{5}{24}=-\frac{25}{24}$$

הוסף ‎\frac{5}{24} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{5}{4} x=-\frac{5}{6}$$