פתור את 24x^2-65x+21=0

$$24 x ^ { 2 } - 65 x + 21 = 0$$

פתור עבור x

$$x=\frac{3}{8}=0.375$$

$$x = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} \approx 2.333333333$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 24x^{2}+ax+bx+21. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-65 ab=24\times 21=504$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא שלילי, a ו- b שניהם שליליים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 504.

$$-1,-504 -2,-252 -3,-168 -4,-126 -6,-84 -7,-72 -8,-63 -9,-56 -12,-42 -14,-36 -18,-28 -21,-24$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1-504=-505 -2-252=-254 -3-168=-171 -4-126=-130 -6-84=-90 -7-72=-79 -8-63=-71 -9-56=-65 -12-42=-54 -14-36=-50 -18-28=-46 -21-24=-45$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -65.

$$a=-56 b=-9$$

שכתב את ‎24x^{2}-65x+21 כ- ‎\left(24x^{2}-56x\right)+\left(-9x+21\right).

$$\left(24x^{2}-56x\right)+\left(-9x+21\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 8x בקבוצה הראשונה ואת -3 בקבוצה השניה.

$$8x\left(3x-7\right)-3\left(3x-7\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 3x-7 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(3x-7\right)\left(8x-3\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את 3x-7=0 ו- 8x-3=0.

$$x=\frac{7}{3} x=\frac{3}{8}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$24x^{2}-65x+21=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 24 במקום a, ב- -65 במקום b, וב- 21 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{\left(-65\right)^{2}-4\times 24\times 21}}{2\times 24}$$

‎-65 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{4225-4\times 24\times 21}}{2\times 24}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎24.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{4225-96\times 21}}{2\times 24}$$

הכפל את ‎-96 ב- ‎21.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{4225-2016}}{2\times 24}$$

הוסף את ‎4225 ל- ‎-2016.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{2209}}{2\times 24}$$

הוצא את השורש הריבועי של 2209.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±47}{2\times 24}$$

ההופכי של ‎-65 הוא ‎65.

$$x=\frac{65±47}{2\times 24}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎24.

$$x=\frac{65±47}{48}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{65±47}{48} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎65 ל- ‎47.

$$x=\frac{112}{48}$$

צמצם את השבר ‎\frac{112}{48} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 16.

$$x=\frac{7}{3}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{65±47}{48} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎47 מ- ‎65.

$$x=\frac{18}{48}$$

צמצם את השבר ‎\frac{18}{48} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 6.

$$x=\frac{3}{8}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{7}{3} x=\frac{3}{8}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$24x^{2}-65x+21=0$$

החסר ‎21 משני אגפי המשוואה.

$$24x^{2}-65x+21-21=-21$$

החסרת 21 מעצמו נותנת 0.

$$24x^{2}-65x=-21$$

חלק את שני האגפים ב- ‎24.

$$\frac{24x^{2}-65x}{24}=-\frac{21}{24}$$

חילוק ב- ‎24 מבטל את ההכפלה ב- ‎24.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x=-\frac{21}{24}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-21}{24} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 3.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x=-\frac{7}{8}$$

חלק את ‎-\frac{65}{24}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{65}{48}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{65}{48} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x+\left(-\frac{65}{48}\right)^{2}=-\frac{7}{8}+\left(-\frac{65}{48}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{65}{48} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x+\frac{4225}{2304}=-\frac{7}{8}+\frac{4225}{2304}$$

הוסף את ‎-\frac{7}{8} ל- ‎\frac{4225}{2304} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x+\frac{4225}{2304}=\frac{2209}{2304}$$

פרק x^{2}-\frac{65}{24}x+\frac{4225}{2304} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{65}{48}\right)^{2}=\frac{2209}{2304}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{65}{48}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2209}{2304}}$$

פשט.

$$x-\frac{65}{48}=\frac{47}{48} x-\frac{65}{48}=-\frac{47}{48}$$

הוסף ‎\frac{65}{48} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{7}{3} x=\frac{3}{8}$$