פתור את 24x^2+38x+15

$$24 x ^ { 2 } + 38 x + 15$$

פרק לגורמים

$$\left(4x+3\right)\left(6x+5\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 24x^{2}+ax+bx+15. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=38 ab=24\times 15=360$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא חיובי, a ו- b שניהם חיוביים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 360.

$$1,360 2,180 3,120 4,90 5,72 6,60 8,45 9,40 10,36 12,30 15,24 18,20$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1+360=361 2+180=182 3+120=123 4+90=94 5+72=77 6+60=66 8+45=53 9+40=49 10+36=46 12+30=42 15+24=39 18+20=38$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 38.

$$a=18 b=20$$

שכתב את ‎24x^{2}+38x+15 כ- ‎\left(24x^{2}+18x\right)+\left(20x+15\right).

$$\left(24x^{2}+18x\right)+\left(20x+15\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 6x בקבוצה הראשונה ואת 5 בקבוצה השניה.

$$6x\left(4x+3\right)+5\left(4x+3\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 4x+3 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(4x+3\right)\left(6x+5\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$24x^{2}+38x+15=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$x=\frac{-38±\sqrt{38^{2}-4\times 24\times 15}}{2\times 24}$$

‎38 בריבוע.

$$x=\frac{-38±\sqrt{1444-4\times 24\times 15}}{2\times 24}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎24.

$$x=\frac{-38±\sqrt{1444-96\times 15}}{2\times 24}$$

הכפל את ‎-96 ב- ‎15.

$$x=\frac{-38±\sqrt{1444-1440}}{2\times 24}$$

הוסף את ‎1444 ל- ‎-1440.

$$x=\frac{-38±\sqrt{4}}{2\times 24}$$

הוצא את השורש הריבועי של 4.

$$x=\frac{-38±2}{2\times 24}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎24.

$$x=\frac{-38±2}{48}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-38±2}{48} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-38 ל- ‎2.

$$x=-\frac{36}{48}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-36}{48} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 12.

$$x=-\frac{3}{4}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-38±2}{48} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎2 מ- ‎-38.

$$x=-\frac{40}{48}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-40}{48} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 8.

$$x=-\frac{5}{6}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎-\frac{3}{4} במקום x_{1} וב- ‎-\frac{5}{6} במקום x_{2}.

$$24x^{2}+38x+15=24\left(x-\left(-\frac{3}{4}\right)\right)\left(x-\left(-\frac{5}{6}\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$24x^{2}+38x+15=24\left(x+\frac{3}{4}\right)\left(x+\frac{5}{6}\right)$$

הוסף את ‎\frac{3}{4} ל- ‎x על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$24x^{2}+38x+15=24\times \frac{4x+3}{4}\left(x+\frac{5}{6}\right)$$

הוסף את ‎\frac{5}{6} ל- ‎x על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$24x^{2}+38x+15=24\times \frac{4x+3}{4}\times \frac{6x+5}{6}$$

הכפל את ‎\frac{4x+3}{4} ב- ‎\frac{6x+5}{6} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$24x^{2}+38x+15=24\times \frac{\left(4x+3\right)\left(6x+5\right)}{4\times 6}$$

הכפל את ‎4 ב- ‎6.

$$24x^{2}+38x+15=24\times \frac{\left(4x+3\right)\left(6x+5\right)}{24}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎24 ב- ‎24 ו- ‎24.

$$24x^{2}+38x+15=\left(4x+3\right)\left(6x+5\right)$$

הערך

$$\left(4x+3\right)\left(6x+5\right)$$