פתור את 24w^2-23w-630

$$24 w ^ { 2 } - 23 w - 630$$

פרק לגורמים

$$\left(8w-45\right)\left(3w+14\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 24w^{2}+aw+bw-630. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-23 ab=24\left(-630\right)=-15120$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -15120.

$$1,-15120 2,-7560 3,-5040 4,-3780 5,-3024 6,-2520 7,-2160 8,-1890 9,-1680 10,-1512 12,-1260 14,-1080 15,-1008 16,-945 18,-840 20,-756 21,-720 24,-630 27,-560 28,-540 30,-504 35,-432 36,-420 40,-378 42,-360 45,-336 48,-315 54,-280 56,-270 60,-252 63,-240 70,-216 72,-210 80,-189 84,-180 90,-168 105,-144 108,-140 112,-135 120,-126$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-15120=-15119 2-7560=-7558 3-5040=-5037 4-3780=-3776 5-3024=-3019 6-2520=-2514 7-2160=-2153 8-1890=-1882 9-1680=-1671 10-1512=-1502 12-1260=-1248 14-1080=-1066 15-1008=-993 16-945=-929 18-840=-822 20-756=-736 21-720=-699 24-630=-606 27-560=-533 28-540=-512 30-504=-474 35-432=-397 36-420=-384 40-378=-338 42-360=-318 45-336=-291 48-315=-267 54-280=-226 56-270=-214 60-252=-192 63-240=-177 70-216=-146 72-210=-138 80-189=-109 84-180=-96 90-168=-78 105-144=-39 108-140=-32 112-135=-23 120-126=-6$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -23.

$$a=-135 b=112$$

שכתב את ‎24w^{2}-23w-630 כ- ‎\left(24w^{2}-135w\right)+\left(112w-630\right).

$$\left(24w^{2}-135w\right)+\left(112w-630\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 3w בקבוצה הראשונה ואת 14 בקבוצה השניה.

$$3w\left(8w-45\right)+14\left(8w-45\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 8w-45 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(8w-45\right)\left(3w+14\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$24w^{2}-23w-630=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$w=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{\left(-23\right)^{2}-4\times 24\left(-630\right)}}{2\times 24}$$

‎-23 בריבוע.

$$w=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-4\times 24\left(-630\right)}}{2\times 24}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎24.

$$w=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-96\left(-630\right)}}{2\times 24}$$

הכפל את ‎-96 ב- ‎-630.

$$w=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529+60480}}{2\times 24}$$

הוסף את ‎529 ל- ‎60480.

$$w=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{61009}}{2\times 24}$$

הוצא את השורש הריבועי של 61009.

$$w=\frac{-\left(-23\right)±247}{2\times 24}$$

ההופכי של ‎-23 הוא ‎23.

$$w=\frac{23±247}{2\times 24}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎24.

$$w=\frac{23±247}{48}$$

כעת פתור את המשוואה w=\frac{23±247}{48} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎23 ל- ‎247.

$$w=\frac{270}{48}$$

צמצם את השבר ‎\frac{270}{48} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 6.

$$w=\frac{45}{8}$$

כעת פתור את המשוואה w=\frac{23±247}{48} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎247 מ- ‎23.

$$w=-\frac{224}{48}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-224}{48} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 16.

$$w=-\frac{14}{3}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎\frac{45}{8} במקום x_{1} וב- ‎-\frac{14}{3} במקום x_{2}.

$$24w^{2}-23w-630=24\left(w-\frac{45}{8}\right)\left(w-\left(-\frac{14}{3}\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$24w^{2}-23w-630=24\left(w-\frac{45}{8}\right)\left(w+\frac{14}{3}\right)$$

החסר את w מ- \frac{45}{8} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$24w^{2}-23w-630=24\times \frac{8w-45}{8}\left(w+\frac{14}{3}\right)$$

הוסף את ‎\frac{14}{3} ל- ‎w על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$24w^{2}-23w-630=24\times \frac{8w-45}{8}\times \frac{3w+14}{3}$$

הכפל את ‎\frac{8w-45}{8} ב- ‎\frac{3w+14}{3} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$24w^{2}-23w-630=24\times \frac{\left(8w-45\right)\left(3w+14\right)}{8\times 3}$$

הכפל את ‎8 ב- ‎3.

$$24w^{2}-23w-630=24\times \frac{\left(8w-45\right)\left(3w+14\right)}{24}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎24 ב- ‎24 ו- ‎24.

$$24w^{2}-23w-630=\left(8w-45\right)\left(3w+14\right)$$

הערך

$$\left(8w-45\right)\left(3w+14\right)$$