פתור את 24x^2+10x-21

$$24 { x }^{ 2 } +10x-21$$

פרק לגורמים

$$\left(4x-3\right)\left(6x+7\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 24x^{2}+ax+bx-21. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=10 ab=24\left(-21\right)=-504$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -504.

$$-1,504 -2,252 -3,168 -4,126 -6,84 -7,72 -8,63 -9,56 -12,42 -14,36 -18,28 -21,24$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+504=503 -2+252=250 -3+168=165 -4+126=122 -6+84=78 -7+72=65 -8+63=55 -9+56=47 -12+42=30 -14+36=22 -18+28=10 -21+24=3$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 10.

$$a=-18 b=28$$

שכתב את ‎24x^{2}+10x-21 כ- ‎\left(24x^{2}-18x\right)+\left(28x-21\right).

$$\left(24x^{2}-18x\right)+\left(28x-21\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 6x בקבוצה הראשונה ואת 7 בקבוצה השניה.

$$6x\left(4x-3\right)+7\left(4x-3\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 4x-3 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(4x-3\right)\left(6x+7\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$24x^{2}+10x-21=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 24\left(-21\right)}}{2\times 24}$$

‎10 בריבוע.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 24\left(-21\right)}}{2\times 24}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎24.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-96\left(-21\right)}}{2\times 24}$$

הכפל את ‎-96 ב- ‎-21.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+2016}}{2\times 24}$$

הוסף את ‎100 ל- ‎2016.

$$x=\frac{-10±\sqrt{2116}}{2\times 24}$$

הוצא את השורש הריבועי של 2116.

$$x=\frac{-10±46}{2\times 24}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎24.

$$x=\frac{-10±46}{48}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-10±46}{48} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-10 ל- ‎46.

$$x=\frac{36}{48}$$

צמצם את השבר ‎\frac{36}{48} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 12.

$$x=\frac{3}{4}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-10±46}{48} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎46 מ- ‎-10.

$$x=-\frac{56}{48}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-56}{48} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 8.

$$x=-\frac{7}{6}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎\frac{3}{4} במקום x_{1} וב- ‎-\frac{7}{6} במקום x_{2}.

$$24x^{2}+10x-21=24\left(x-\frac{3}{4}\right)\left(x-\left(-\frac{7}{6}\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$24x^{2}+10x-21=24\left(x-\frac{3}{4}\right)\left(x+\frac{7}{6}\right)$$

החסר את x מ- \frac{3}{4} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$24x^{2}+10x-21=24\times \frac{4x-3}{4}\left(x+\frac{7}{6}\right)$$

הוסף את ‎\frac{7}{6} ל- ‎x על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$24x^{2}+10x-21=24\times \frac{4x-3}{4}\times \frac{6x+7}{6}$$

הכפל את ‎\frac{4x-3}{4} ב- ‎\frac{6x+7}{6} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$24x^{2}+10x-21=24\times \frac{\left(4x-3\right)\left(6x+7\right)}{4\times 6}$$

הכפל את ‎4 ב- ‎6.

$$24x^{2}+10x-21=24\times \frac{\left(4x-3\right)\left(6x+7\right)}{24}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎24 ב- ‎24 ו- ‎24.

$$24x^{2}+10x-21=\left(4x-3\right)\left(6x+7\right)$$

הערך

$$\left(4x-3\right)\left(6x+7\right)$$