פתור את 23x^2+5x+3=0

$$23 x ^ { 2 } + 5 x + 3 = 0$$

פתור עבור x (complex solution)

$$x=\frac{-5+\sqrt{251}i}{46}\approx -0.108695652+0.344412598i$$

$$x=\frac{-\sqrt{251}i-5}{46}\approx -0.108695652-0.344412598i$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$23x^{2}+5x+3=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 23 במקום a, ב- 5 במקום b, וב- 3 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 23\times 3}}{2\times 23}$$

‎5 בריבוע.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 23\times 3}}{2\times 23}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎23.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-92\times 3}}{2\times 23}$$

הכפל את ‎-92 ב- ‎3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-276}}{2\times 23}$$

הוסף את ‎25 ל- ‎-276.

$$x=\frac{-5±\sqrt{-251}}{2\times 23}$$

הוצא את השורש הריבועי של -251.

$$x=\frac{-5±\sqrt{251}i}{2\times 23}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎23.

$$x=\frac{-5±\sqrt{251}i}{46}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-5±\sqrt{251}i}{46} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-5 ל- ‎i\sqrt{251}.

$$x=\frac{-5+\sqrt{251}i}{46}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-5±\sqrt{251}i}{46} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎i\sqrt{251} מ- ‎-5.

$$x=\frac{-\sqrt{251}i-5}{46}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{-5+\sqrt{251}i}{46} x=\frac{-\sqrt{251}i-5}{46}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$23x^{2}+5x+3=0$$

החסר ‎3 משני אגפי המשוואה.

$$23x^{2}+5x+3-3=-3$$

החסרת 3 מעצמו נותנת 0.

$$23x^{2}+5x=-3$$

חלק את שני האגפים ב- ‎23.

$$\frac{23x^{2}+5x}{23}=-\frac{3}{23}$$

חילוק ב- ‎23 מבטל את ההכפלה ב- ‎23.

$$x^{2}+\frac{5}{23}x=-\frac{3}{23}$$

חלק את ‎\frac{5}{23}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{5}{46}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{5}{46} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}+\frac{5}{23}x+\left(\frac{5}{46}\right)^{2}=-\frac{3}{23}+\left(\frac{5}{46}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{5}{46} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}+\frac{5}{23}x+\frac{25}{2116}=-\frac{3}{23}+\frac{25}{2116}$$

הוסף את ‎-\frac{3}{23} ל- ‎\frac{25}{2116} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}+\frac{5}{23}x+\frac{25}{2116}=-\frac{251}{2116}$$

פרק x^{2}+\frac{5}{23}x+\frac{25}{2116} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{46}\right)^{2}=-\frac{251}{2116}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{46}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{251}{2116}}$$

פשט.

$$x+\frac{5}{46}=\frac{\sqrt{251}i}{46} x+\frac{5}{46}=-\frac{\sqrt{251}i}{46}$$

החסר ‎\frac{5}{46} משני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{-5+\sqrt{251}i}{46} x=\frac{-\sqrt{251}i-5}{46}$$