פתור את 23x^2+45x-2

$$23 x ^ { 2 } + 45 x - 2$$

פרק לגורמים

$$\left(23x-1\right)\left(x+2\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 23x^{2}+ax+bx-2. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=45 ab=23\left(-2\right)=-46$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -46.

$$-1,46 -2,23$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+46=45 -2+23=21$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 45.

$$a=-1 b=46$$

שכתב את ‎23x^{2}+45x-2 כ- ‎\left(23x^{2}-x\right)+\left(46x-2\right).

$$\left(23x^{2}-x\right)+\left(46x-2\right)$$

הוצא את הגורם המשותף x בקבוצה הראשונה ואת 2 בקבוצה השניה.

$$x\left(23x-1\right)+2\left(23x-1\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 23x-1 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(23x-1\right)\left(x+2\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$23x^{2}+45x-2=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$x=\frac{-45±\sqrt{45^{2}-4\times 23\left(-2\right)}}{2\times 23}$$

‎45 בריבוע.

$$x=\frac{-45±\sqrt{2025-4\times 23\left(-2\right)}}{2\times 23}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎23.

$$x=\frac{-45±\sqrt{2025-92\left(-2\right)}}{2\times 23}$$

הכפל את ‎-92 ב- ‎-2.

$$x=\frac{-45±\sqrt{2025+184}}{2\times 23}$$

הוסף את ‎2025 ל- ‎184.

$$x=\frac{-45±\sqrt{2209}}{2\times 23}$$

הוצא את השורש הריבועי של 2209.

$$x=\frac{-45±47}{2\times 23}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎23.

$$x=\frac{-45±47}{46}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-45±47}{46} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-45 ל- ‎47.

$$x=\frac{2}{46}$$

צמצם את השבר ‎\frac{2}{46} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x=\frac{1}{23}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-45±47}{46} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎47 מ- ‎-45.

$$x=-\frac{92}{46}$$

חלק את ‎-92 ב- ‎46.

$$x=-2$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎\frac{1}{23} במקום x_{1} וב- ‎-2 במקום x_{2}.

$$23x^{2}+45x-2=23\left(x-\frac{1}{23}\right)\left(x-\left(-2\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$23x^{2}+45x-2=23\left(x-\frac{1}{23}\right)\left(x+2\right)$$

החסר את x מ- \frac{1}{23} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$23x^{2}+45x-2=23\times \frac{23x-1}{23}\left(x+2\right)$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎23 ב- ‎23 ו- ‎23.

$$23x^{2}+45x-2=\left(23x-1\right)\left(x+2\right)$$

הערך

$$\left(23x-1\right)\left(x+2\right)$$