פתור את 21x^2+55x+36

$$21 { x }^{ 2 } +55x+36$$

פרק לגורמים

$$\left(3x+4\right)\left(7x+9\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 21x^{2}+ax+bx+36. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=55 ab=21\times 36=756$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא חיובי, a ו- b שניהם חיוביים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 756.

$$1,756 2,378 3,252 4,189 6,126 7,108 9,84 12,63 14,54 18,42 21,36 27,28$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1+756=757 2+378=380 3+252=255 4+189=193 6+126=132 7+108=115 9+84=93 12+63=75 14+54=68 18+42=60 21+36=57 27+28=55$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 55.

$$a=27 b=28$$

שכתב את ‎21x^{2}+55x+36 כ- ‎\left(21x^{2}+27x\right)+\left(28x+36\right).

$$\left(21x^{2}+27x\right)+\left(28x+36\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 3x בקבוצה הראשונה ואת 4 בקבוצה השניה.

$$3x\left(7x+9\right)+4\left(7x+9\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 7x+9 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(7x+9\right)\left(3x+4\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$21x^{2}+55x+36=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$x=\frac{-55±\sqrt{55^{2}-4\times 21\times 36}}{2\times 21}$$

‎55 בריבוע.

$$x=\frac{-55±\sqrt{3025-4\times 21\times 36}}{2\times 21}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎21.

$$x=\frac{-55±\sqrt{3025-84\times 36}}{2\times 21}$$

הכפל את ‎-84 ב- ‎36.

$$x=\frac{-55±\sqrt{3025-3024}}{2\times 21}$$

הוסף את ‎3025 ל- ‎-3024.

$$x=\frac{-55±\sqrt{1}}{2\times 21}$$

הוצא את השורש הריבועי של 1.

$$x=\frac{-55±1}{2\times 21}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎21.

$$x=\frac{-55±1}{42}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-55±1}{42} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-55 ל- ‎1.

$$x=-\frac{54}{42}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-54}{42} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 6.

$$x=-\frac{9}{7}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-55±1}{42} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎1 מ- ‎-55.

$$x=-\frac{56}{42}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-56}{42} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 14.

$$x=-\frac{4}{3}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎-\frac{9}{7} במקום x_{1} וב- ‎-\frac{4}{3} במקום x_{2}.

$$21x^{2}+55x+36=21\left(x-\left(-\frac{9}{7}\right)\right)\left(x-\left(-\frac{4}{3}\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$21x^{2}+55x+36=21\left(x+\frac{9}{7}\right)\left(x+\frac{4}{3}\right)$$

הוסף את ‎\frac{9}{7} ל- ‎x על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$21x^{2}+55x+36=21\times \frac{7x+9}{7}\left(x+\frac{4}{3}\right)$$

הוסף את ‎\frac{4}{3} ל- ‎x על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$21x^{2}+55x+36=21\times \frac{7x+9}{7}\times \frac{3x+4}{3}$$

הכפל את ‎\frac{7x+9}{7} ב- ‎\frac{3x+4}{3} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$21x^{2}+55x+36=21\times \frac{\left(7x+9\right)\left(3x+4\right)}{7\times 3}$$

הכפל את ‎7 ב- ‎3.

$$21x^{2}+55x+36=21\times \frac{\left(7x+9\right)\left(3x+4\right)}{21}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎21 ב- ‎21 ו- ‎21.

$$21x^{2}+55x+36=\left(7x+9\right)\left(3x+4\right)$$

הערך

$$\left(3x+4\right)\left(7x+9\right)$$