פתור את 200n^2+30n+1

$$200 n ^ { 2 } + 30 n + 1$$

פרק לגורמים

$$\left(10n+1\right)\left(20n+1\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 200n^{2}+an+bn+1. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=30 ab=200\times 1=200$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא חיובי, a ו- b שניהם חיוביים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 200.

$$1,200 2,100 4,50 5,40 8,25 10,20$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1+200=201 2+100=102 4+50=54 5+40=45 8+25=33 10+20=30$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 30.

$$a=10 b=20$$

שכתב את ‎200n^{2}+30n+1 כ- ‎\left(200n^{2}+10n\right)+\left(20n+1\right).

$$\left(200n^{2}+10n\right)+\left(20n+1\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 10n ב- 200n^{2}+10n.

$$10n\left(20n+1\right)+20n+1$$

הוצא את האיבר המשותף 20n+1 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(20n+1\right)\left(10n+1\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$200n^{2}+30n+1=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$n=\frac{-30±\sqrt{30^{2}-4\times 200}}{2\times 200}$$

‎30 בריבוע.

$$n=\frac{-30±\sqrt{900-4\times 200}}{2\times 200}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎200.

$$n=\frac{-30±\sqrt{900-800}}{2\times 200}$$

הוסף את ‎900 ל- ‎-800.

$$n=\frac{-30±\sqrt{100}}{2\times 200}$$

הוצא את השורש הריבועי של 100.

$$n=\frac{-30±10}{2\times 200}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎200.

$$n=\frac{-30±10}{400}$$

כעת פתור את המשוואה n=\frac{-30±10}{400} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-30 ל- ‎10.

$$n=-\frac{20}{400}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-20}{400} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 20.

$$n=-\frac{1}{20}$$

כעת פתור את המשוואה n=\frac{-30±10}{400} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎10 מ- ‎-30.

$$n=-\frac{40}{400}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-40}{400} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 40.

$$n=-\frac{1}{10}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎-\frac{1}{20} במקום x_{1} וב- ‎-\frac{1}{10} במקום x_{2}.

$$200n^{2}+30n+1=200\left(n-\left(-\frac{1}{20}\right)\right)\left(n-\left(-\frac{1}{10}\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$200n^{2}+30n+1=200\left(n+\frac{1}{20}\right)\left(n+\frac{1}{10}\right)$$

הוסף את ‎\frac{1}{20} ל- ‎n על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$200n^{2}+30n+1=200\times \frac{20n+1}{20}\left(n+\frac{1}{10}\right)$$

הוסף את ‎\frac{1}{10} ל- ‎n על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$200n^{2}+30n+1=200\times \frac{20n+1}{20}\times \frac{10n+1}{10}$$

הכפל את ‎\frac{20n+1}{20} ב- ‎\frac{10n+1}{10} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$200n^{2}+30n+1=200\times \frac{\left(20n+1\right)\left(10n+1\right)}{20\times 10}$$

הכפל את ‎20 ב- ‎10.

$$200n^{2}+30n+1=200\times \frac{\left(20n+1\right)\left(10n+1\right)}{200}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎200 ב- ‎200 ו- ‎200.

$$200n^{2}+30n+1=\left(20n+1\right)\left(10n+1\right)$$

הערך

$$\left(10n+1\right)\left(20n+1\right)$$