פתור את 20u^2-17u-10

$$20 u ^ { 2 } - 17 u - 10$$

פרק לגורמים

$$\left(4u-5\right)\left(5u+2\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 20u^{2}+au+bu-10. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-17 ab=20\left(-10\right)=-200$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -200.

$$1,-200 2,-100 4,-50 5,-40 8,-25 10,-20$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-200=-199 2-100=-98 4-50=-46 5-40=-35 8-25=-17 10-20=-10$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -17.

$$a=-25 b=8$$

שכתב את ‎20u^{2}-17u-10 כ- ‎\left(20u^{2}-25u\right)+\left(8u-10\right).

$$\left(20u^{2}-25u\right)+\left(8u-10\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 5u בקבוצה הראשונה ואת 2 בקבוצה השניה.

$$5u\left(4u-5\right)+2\left(4u-5\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 4u-5 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(4u-5\right)\left(5u+2\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$20u^{2}-17u-10=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$u=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{\left(-17\right)^{2}-4\times 20\left(-10\right)}}{2\times 20}$$

‎-17 בריבוע.

$$u=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{289-4\times 20\left(-10\right)}}{2\times 20}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎20.

$$u=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{289-80\left(-10\right)}}{2\times 20}$$

הכפל את ‎-80 ב- ‎-10.

$$u=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{289+800}}{2\times 20}$$

הוסף את ‎289 ל- ‎800.

$$u=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{1089}}{2\times 20}$$

הוצא את השורש הריבועי של 1089.

$$u=\frac{-\left(-17\right)±33}{2\times 20}$$

ההופכי של ‎-17 הוא ‎17.

$$u=\frac{17±33}{2\times 20}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎20.

$$u=\frac{17±33}{40}$$

כעת פתור את המשוואה u=\frac{17±33}{40} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎17 ל- ‎33.

$$u=\frac{50}{40}$$

צמצם את השבר ‎\frac{50}{40} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 10.

$$u=\frac{5}{4}$$

כעת פתור את המשוואה u=\frac{17±33}{40} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎33 מ- ‎17.

$$u=-\frac{16}{40}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-16}{40} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 8.

$$u=-\frac{2}{5}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎\frac{5}{4} במקום x_{1} וב- ‎-\frac{2}{5} במקום x_{2}.

$$20u^{2}-17u-10=20\left(u-\frac{5}{4}\right)\left(u-\left(-\frac{2}{5}\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$20u^{2}-17u-10=20\left(u-\frac{5}{4}\right)\left(u+\frac{2}{5}\right)$$

החסר את u מ- \frac{5}{4} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$20u^{2}-17u-10=20\times \frac{4u-5}{4}\left(u+\frac{2}{5}\right)$$

הוסף את ‎\frac{2}{5} ל- ‎u על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$20u^{2}-17u-10=20\times \frac{4u-5}{4}\times \frac{5u+2}{5}$$

הכפל את ‎\frac{4u-5}{4} ב- ‎\frac{5u+2}{5} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$20u^{2}-17u-10=20\times \frac{\left(4u-5\right)\left(5u+2\right)}{4\times 5}$$

הכפל את ‎4 ב- ‎5.

$$20u^{2}-17u-10=20\times \frac{\left(4u-5\right)\left(5u+2\right)}{20}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎20 ב- ‎20 ו- ‎20.

$$20u^{2}-17u-10=\left(4u-5\right)\left(5u+2\right)$$

הערך

$$\left(4u-5\right)\left(5u+2\right)$$