פתור את 2y^2+2y-1=0

$$2 y ^ { 2 } + 2 y - 1 = 0$$

פתור עבור y

$$y=\frac{\sqrt{3}-1}{2}\approx 0.366025404$$

$$y=\frac{-\sqrt{3}-1}{2}\approx -1.366025404$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$2y^{2}+2y-1=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 2 במקום a, ב- 2 במקום b, וב- -1 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

‎2 בריבוע.

$$y=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎2.

$$y=\frac{-2±\sqrt{4-8\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-8 ב- ‎-1.

$$y=\frac{-2±\sqrt{4+8}}{2\times 2}$$

הוסף את ‎4 ל- ‎8.

$$y=\frac{-2±\sqrt{12}}{2\times 2}$$

הוצא את השורש הריבועי של 12.

$$y=\frac{-2±2\sqrt{3}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎2.

$$y=\frac{-2±2\sqrt{3}}{4}$$

כעת פתור את המשוואה y=\frac{-2±2\sqrt{3}}{4} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-2 ל- ‎2\sqrt{3}.

$$y=\frac{2\sqrt{3}-2}{4}$$

חלק את ‎-2+2\sqrt{3} ב- ‎4.

$$y=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$$

כעת פתור את המשוואה y=\frac{-2±2\sqrt{3}}{4} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎2\sqrt{3} מ- ‎-2.

$$y=\frac{-2\sqrt{3}-2}{4}$$

חלק את ‎-2-2\sqrt{3} ב- ‎4.

$$y=\frac{-\sqrt{3}-1}{2}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$y=\frac{\sqrt{3}-1}{2} y=\frac{-\sqrt{3}-1}{2}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$2y^{2}+2y-1=0$$

הוסף ‎1 לשני אגפי המשוואה.

$$2y^{2}+2y-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

החסרת -1 מעצמו נותנת 0.

$$2y^{2}+2y=-\left(-1\right)$$

החסר ‎-1 מ- ‎0.

$$2y^{2}+2y=1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$\frac{2y^{2}+2y}{2}=\frac{1}{2}$$

חילוק ב- ‎2 מבטל את ההכפלה ב- ‎2.

$$y^{2}+\frac{2}{2}y=\frac{1}{2}$$

חלק את ‎2 ב- ‎2.

$$y^{2}+y=\frac{1}{2}$$

חלק את ‎1, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{1}{2}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{1}{2} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$y^{2}+y+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{1}{2} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$y^{2}+y+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$$

הוסף את ‎\frac{1}{2} ל- ‎\frac{1}{4} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$y^{2}+y+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$$

פרק y^{2}+y+\frac{1}{4} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{4}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(y+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3}{4}}$$

פשט.

$$y+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2} y+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

החסר ‎\frac{1}{2} משני אגפי המשוואה.

$$y=\frac{\sqrt{3}-1}{2} y=\frac{-\sqrt{3}-1}{2}$$