פתור את 2x-y=2,4x-y=2

$$2 x - y = 2,4 x - y = 2$$

פתור עבור x, y

$$x=0$$

$$y=-2$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x-y=2,4x-y=2$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x-y=2$$

הוסף ‎y לשני אגפי המשוואה.

$$2x=y+2$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+2\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎y+2.

$$x=\frac{1}{2}y+1$$

השתמש ב- ‎\frac{y}{2}+1 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎4x-y=2.

$$4\left(\frac{1}{2}y+1\right)-y=2$$

הכפל את ‎4 ב- ‎\frac{y}{2}+1.

$$2y+4-y=2$$

הוסף את ‎2y ל- ‎-y.

$$y+4=2$$

החסר ‎4 משני אגפי המשוואה.

$$y=-2$$

השתמש ב- ‎-2 במקום y ב- ‎x=\frac{1}{2}y+1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{1}{2}\left(-2\right)+1$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎-2.

$$x=-1+1$$

הוסף את ‎1 ל- ‎-1.

$$x=0$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=0,y=-2$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x-y=2,4x-y=2$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&-1\\4&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-\left(-4\right)}&-\frac{-1}{2\left(-1\right)-\left(-4\right)}\\-\frac{4}{2\left(-1\right)-\left(-4\right)}&\frac{2}{2\left(-1\right)-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 2+\frac{1}{2}\times 2\\-2\times 2+2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-2\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=0,y=-2$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x-y=2,4x-y=2$$

החסר את ‎4x-y=2 מ- ‎2x-y=2 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$2x-4x-y+y=2-2$$

הוסף את ‎-y ל- ‎y. האיברים ‎-y ו- ‎y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$2x-4x=2-2$$

הוסף את ‎2x ל- ‎-4x.

$$-2x=2-2$$

הוסף את ‎2 ל- ‎-2.

$$-2x=0$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-2.

$$x=0$$

השתמש ב- ‎0 במקום x ב- ‎4x-y=2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$-y=2$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$y=-2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=0,y=-2$$