פתור את 2x-5y=-3,y=-2x+1

$$2 x - 5 y = - 3 , y = - 2 x + 1$$

פתור עבור x, y

$$x=\frac{1}{6}\approx 0.166666667$$

$$y=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה השניה. הוסף ‎2x משני הצדדים.

$$y+2x=1$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x-5y=-3,2x+y=1$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x-5y=-3$$

הוסף ‎5y לשני אגפי המשוואה.

$$2x=5y-3$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(5y-3\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎5y-3.

$$x=\frac{5}{2}y-\frac{3}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{5y-3}{2} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎2x+y=1.

$$2\left(\frac{5}{2}y-\frac{3}{2}\right)+y=1$$

הכפל את ‎2 ב- ‎\frac{5y-3}{2}.

$$5y-3+y=1$$

הוסף את ‎5y ל- ‎y.

$$6y-3=1$$

הוסף ‎3 לשני אגפי המשוואה.

$$6y=4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎6.

$$y=\frac{2}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{2}{3} במקום y ב- ‎x=\frac{5}{2}y-\frac{3}{2}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{5}{2}\times \frac{2}{3}-\frac{3}{2}$$

הכפל את ‎\frac{5}{2} ב- ‎\frac{2}{3} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{5}{3}-\frac{3}{2}$$

הוסף את ‎-\frac{3}{2} ל- ‎\frac{5}{3} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{1}{6}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{1}{6},y=\frac{2}{3}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה השניה. הוסף ‎2x משני הצדדים.

$$y+2x=1$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x-5y=-3,2x+y=1$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&-5\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&-5\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-5\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-5\times 2\right)}&-\frac{-5}{2-\left(-5\times 2\right)}\\-\frac{2}{2-\left(-5\times 2\right)}&\frac{2}{2-\left(-5\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}&\frac{5}{12}\\-\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}\left(-3\right)+\frac{5}{12}\\-\frac{1}{6}\left(-3\right)+\frac{1}{6}\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\\\frac{2}{3}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{1}{6},y=\frac{2}{3}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה השניה. הוסף ‎2x משני הצדדים.

$$y+2x=1$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x-5y=-3,2x+y=1$$

החסר את ‎2x+y=1 מ- ‎2x-5y=-3 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$2x-2x-5y-y=-3-1$$

הוסף את ‎2x ל- ‎-2x. האיברים ‎2x ו- ‎-2x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-5y-y=-3-1$$

הוסף את ‎-5y ל- ‎-y.

$$-6y=-3-1$$

הוסף את ‎-3 ל- ‎-1.

$$-6y=-4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-6.

$$y=\frac{2}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{2}{3} במקום y ב- ‎2x+y=1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$2x+\frac{2}{3}=1$$

החסר ‎\frac{2}{3} משני אגפי המשוואה.

$$2x=\frac{1}{3}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{6}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{1}{6},y=\frac{2}{3}$$