פתור את 2x^{6}+x^5-9x^4+12x^3-14x^2+11x-3

$$2 x ^ { 6 } + x ^ { 5 } - 9 x ^ { 4 } + 12 x ^ { 3 } - 14 x ^ { 2 } + 11 x - 3$$

פרק לגורמים

$$\left(2x-1\right)\left(x+3\right)\left(x-1\right)^{2}\left(x^{2}+1\right)$$

שלבי פתרון

כדי לפרק את הביטוי, פתור את המשוואה שבה היא שווה ל 0.

$$2x^{6}+x^{5}-9x^{4}+12x^{3}-14x^{2}+11x-3=0$$

לפי משפט השורש הרציונלי, כל השורשים הרציונליים של פולינום הם בצורה \frac{p}{q}, כאשר p מחלק את האיבר הקבוע -3 ו- q מחלק את המקדם המוביל 2. פרט את כל המועמדים \frac{p}{q}.

$$±\frac{3}{2},±3,±\frac{1}{2},±1$$

מצא שורש כזה בכך שתנסה את כל ערכי המספרים השלמים, החל מהערך הקטן ביותר לפי ערך מוחלט. אם לא נמצאו שורשי מספרים שלמים, נסה שברים.

$$x=1$$

לפי משפט הגורמים , x-k הוא גורם של הפולינום עבור כל שורש k. חלק את ‎2x^{6}+x^{5}-9x^{4}+12x^{3}-14x^{2}+11x-3 ב- ‎x-1 כדי לקבל ‎2x^{5}+3x^{4}-6x^{3}+6x^{2}-8x+3. כדי לפרק את התוצאה, פתור את המשוואה שבה היא שווה ל 0.

$$2x^{5}+3x^{4}-6x^{3}+6x^{2}-8x+3=0$$

לפי משפט השורש הרציונלי, כל השורשים הרציונליים של פולינום הם בצורה \frac{p}{q}, כאשר p מחלק את האיבר הקבוע 3 ו- q מחלק את המקדם המוביל 2. פרט את כל המועמדים \frac{p}{q}.

$$±\frac{3}{2},±3,±\frac{1}{2},±1$$

מצא שורש כזה בכך שתנסה את כל ערכי המספרים השלמים, החל מהערך הקטן ביותר לפי ערך מוחלט. אם לא נמצאו שורשי מספרים שלמים, נסה שברים.

$$x=1$$

לפי משפט הגורמים , x-k הוא גורם של הפולינום עבור כל שורש k. חלק את ‎2x^{5}+3x^{4}-6x^{3}+6x^{2}-8x+3 ב- ‎x-1 כדי לקבל ‎2x^{4}+5x^{3}-x^{2}+5x-3. כדי לפרק את התוצאה, פתור את המשוואה שבה היא שווה ל 0.

$$2x^{4}+5x^{3}-x^{2}+5x-3=0$$

לפי משפט השורש הרציונלי, כל השורשים הרציונליים של פולינום הם בצורה \frac{p}{q}, כאשר p מחלק את האיבר הקבוע -3 ו- q מחלק את המקדם המוביל 2. פרט את כל המועמדים \frac{p}{q}.

$$±\frac{3}{2},±3,±\frac{1}{2},±1$$

מצא שורש כזה בכך שתנסה את כל ערכי המספרים השלמים, החל מהערך הקטן ביותר לפי ערך מוחלט. אם לא נמצאו שורשי מספרים שלמים, נסה שברים.

$$x=-3$$

לפי משפט הגורמים , x-k הוא גורם של הפולינום עבור כל שורש k. חלק את ‎2x^{4}+5x^{3}-x^{2}+5x-3 ב- ‎x+3 כדי לקבל ‎2x^{3}-x^{2}+2x-1. כדי לפרק את התוצאה, פתור את המשוואה שבה היא שווה ל 0.

$$2x^{3}-x^{2}+2x-1=0$$

לפי משפט השורש הרציונלי, כל השורשים הרציונליים של פולינום הם בצורה \frac{p}{q}, כאשר p מחלק את האיבר הקבוע -1 ו- q מחלק את המקדם המוביל 2. פרט את כל המועמדים \frac{p}{q}.

$$±\frac{1}{2},±1$$

מצא שורש כזה בכך שתנסה את כל ערכי המספרים השלמים, החל מהערך הקטן ביותר לפי ערך מוחלט. אם לא נמצאו שורשי מספרים שלמים, נסה שברים.

$$x=\frac{1}{2}$$

לפי משפט הגורמים , x-k הוא גורם של הפולינום עבור כל שורש k. חלק את ‎2x^{3}-x^{2}+2x-1 ב- ‎2\left(x-\frac{1}{2}\right)=2x-1 כדי לקבל ‎x^{2}+1. כדי לפרק את התוצאה, פתור את המשוואה שבה היא שווה ל 0.

$$x^{2}+1=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: ‎\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}‎. החלף את ‎1 ב- a, את ‎0 ב- b ואת ‎1 ב- c בנוסחה הריבועית.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

בצע את החישובים.

$$x=\frac{0±\sqrt{-4}}{2}$$

הפולינום x^{2}+1 אינו מפורק לגורמים מכיוון שאין לו שורשים רציונליים.

$$x^{2}+1$$

שכתב את הביטוי המפורק לגורמים באמצעות השורשים שהתקבלו.

$$\left(2x-1\right)\left(x+3\right)\left(x-1\right)^{2}\left(x^{2}+1\right)$$

הערך

$$\left(2x-1\right)\left(x+3\right)\left(x-1\right)^{2}\left(x^{2}+1\right)$$