פתור את 2x^2-x-1

$$2 x ^ { 2 } - x - 1$$

פרק לגורמים

$$\left(x-1\right)\left(2x+1\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 2x^{2}+ax+bx-1. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-1 ab=2\left(-1\right)=-2$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. הצמד היחיד מסוג זה הוא פתרון המערכת.

$$a=-2 b=1$$

שכתב את ‎2x^{2}-x-1 כ- ‎\left(2x^{2}-2x\right)+\left(x-1\right).

$$\left(2x^{2}-2x\right)+\left(x-1\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 2x ב- 2x^{2}-2x.

$$2x\left(x-1\right)+x-1$$

הוצא את האיבר המשותף x-1 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(x-1\right)\left(2x+1\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}-x-1=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎2.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-8\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-8 ב- ‎-1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+8}}{2\times 2}$$

הוסף את ‎1 ל- ‎8.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{9}}{2\times 2}$$

הוצא את השורש הריבועי של 9.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±3}{2\times 2}$$

ההופכי של ‎-1 הוא ‎1.

$$x=\frac{1±3}{2\times 2}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎2.

$$x=\frac{1±3}{4}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{1±3}{4} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎1 ל- ‎3.

$$x=\frac{4}{4}$$

חלק את ‎4 ב- ‎4.

$$x=1$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{1±3}{4} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎3 מ- ‎1.

$$x=-\frac{2}{4}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-2}{4} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x=-\frac{1}{2}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎1 במקום x_{1} וב- ‎-\frac{1}{2} במקום x_{2}.

$$2x^{2}-x-1=2\left(x-1\right)\left(x-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$2x^{2}-x-1=2\left(x-1\right)\left(x+\frac{1}{2}\right)$$

הוסף את ‎\frac{1}{2} ל- ‎x על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$2x^{2}-x-1=2\left(x-1\right)\times \frac{2x+1}{2}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎2 ב- ‎2 ו- ‎2.

$$2x^{2}-x-1=\left(x-1\right)\left(2x+1\right)$$

הערך

$$\left(x-1\right)\left(2x+1\right)$$