פתור את 2x^2-9x-35=0

$$2 x ^ { 2 } - 9 x - 35 = 0$$

פתור עבור x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$x=7$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 2x^{2}+ax+bx-35. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-9 ab=2\left(-35\right)=-70$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -70.

$$1,-70 2,-35 5,-14 7,-10$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-70=-69 2-35=-33 5-14=-9 7-10=-3$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -9.

$$a=-14 b=5$$

שכתב את ‎2x^{2}-9x-35 כ- ‎\left(2x^{2}-14x\right)+\left(5x-35\right).

$$\left(2x^{2}-14x\right)+\left(5x-35\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 2x בקבוצה הראשונה ואת 5 בקבוצה השניה.

$$2x\left(x-7\right)+5\left(x-7\right)$$

הוצא את האיבר המשותף x-7 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(x-7\right)\left(2x+5\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את x-7=0 ו- 2x+5=0.

$$x=7 x=-\frac{5}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$2x^{2}-9x-35=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 2 במקום a, ב- -9 במקום b, וב- -35 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 2\left(-35\right)}}{2\times 2}$$

‎-9 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 2\left(-35\right)}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎2.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-8\left(-35\right)}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-8 ב- ‎-35.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+280}}{2\times 2}$$

הוסף את ‎81 ל- ‎280.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{361}}{2\times 2}$$

הוצא את השורש הריבועי של 361.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±19}{2\times 2}$$

ההופכי של ‎-9 הוא ‎9.

$$x=\frac{9±19}{2\times 2}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎2.

$$x=\frac{9±19}{4}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{9±19}{4} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎9 ל- ‎19.

$$x=\frac{28}{4}$$

חלק את ‎28 ב- ‎4.

$$x=7$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{9±19}{4} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎19 מ- ‎9.

$$x=-\frac{10}{4}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-10}{4} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x=-\frac{5}{2}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=7 x=-\frac{5}{2}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-9x-35=0$$

הוסף ‎35 לשני אגפי המשוואה.

$$2x^{2}-9x-35-\left(-35\right)=-\left(-35\right)$$

החסרת -35 מעצמו נותנת 0.

$$2x^{2}-9x=-\left(-35\right)$$

החסר ‎-35 מ- ‎0.

$$2x^{2}-9x=35$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$\frac{2x^{2}-9x}{2}=\frac{35}{2}$$

חילוק ב- ‎2 מבטל את ההכפלה ב- ‎2.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x=\frac{35}{2}$$

חלק את ‎-\frac{9}{2}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{9}{4}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{9}{4} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{35}{2}+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{9}{4} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=\frac{35}{2}+\frac{81}{16}$$

הוסף את ‎\frac{35}{2} ל- ‎\frac{81}{16} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=\frac{361}{16}$$

פרק x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{361}{16}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{16}}$$

פשט.

$$x-\frac{9}{4}=\frac{19}{4} x-\frac{9}{4}=-\frac{19}{4}$$

הוסף ‎\frac{9}{4} לשני אגפי המשוואה.

$$x=7 x=-\frac{5}{2}$$