פתור את 2x^2-3x-1=-5

$$2 x ^ { 2 } - 3 x - 1 = - 5$$

פתור עבור x (complex solution)

$$x=\frac{3+\sqrt{23}i}{4}\approx 0.75+1.198957881i$$

$$x=\frac{-\sqrt{23}i+3}{4}\approx 0.75-1.198957881i$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$2x^{2}-3x-1=-5$$

הוסף ‎5 לשני אגפי המשוואה.

$$2x^{2}-3x-1-\left(-5\right)=-5-\left(-5\right)$$

החסרת -5 מעצמו נותנת 0.

$$2x^{2}-3x-1-\left(-5\right)=0$$

החסר ‎-5 מ- ‎-1.

$$2x^{2}-3x+4=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 2 במקום a, ב- -3 במקום b, וב- 4 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 2\times 4}}{2\times 2}$$

‎-3 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 2\times 4}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎2.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-8\times 4}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-8 ב- ‎4.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-32}}{2\times 2}$$

הוסף את ‎9 ל- ‎-32.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{-23}}{2\times 2}$$

הוצא את השורש הריבועי של -23.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{23}i}{2\times 2}$$

ההופכי של ‎-3 הוא ‎3.

$$x=\frac{3±\sqrt{23}i}{2\times 2}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎2.

$$x=\frac{3±\sqrt{23}i}{4}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{3±\sqrt{23}i}{4} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎3 ל- ‎i\sqrt{23}.

$$x=\frac{3+\sqrt{23}i}{4}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{3±\sqrt{23}i}{4} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎i\sqrt{23} מ- ‎3.

$$x=\frac{-\sqrt{23}i+3}{4}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{3+\sqrt{23}i}{4} x=\frac{-\sqrt{23}i+3}{4}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-3x-1=-5$$

הוסף ‎1 לשני אגפי המשוואה.

$$2x^{2}-3x-1-\left(-1\right)=-5-\left(-1\right)$$

החסרת -1 מעצמו נותנת 0.

$$2x^{2}-3x=-5-\left(-1\right)$$

החסר ‎-1 מ- ‎-5.

$$2x^{2}-3x=-4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$\frac{2x^{2}-3x}{2}=-\frac{4}{2}$$

חילוק ב- ‎2 מבטל את ההכפלה ב- ‎2.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=-\frac{4}{2}$$

חלק את ‎-4 ב- ‎2.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=-2$$

חלק את ‎-\frac{3}{2}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{3}{4}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{3}{4} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=-2+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{3}{4} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-2+\frac{9}{16}$$

הוסף את ‎-2 ל- ‎\frac{9}{16}.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-\frac{23}{16}$$

פרק x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{23}{16}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{23}{16}}$$

פשט.

$$x-\frac{3}{4}=\frac{\sqrt{23}i}{4} x-\frac{3}{4}=-\frac{\sqrt{23}i}{4}$$

הוסף ‎\frac{3}{4} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{3+\sqrt{23}i}{4} x=\frac{-\sqrt{23}i+3}{4}$$