פתור את 2x^2-11x+16=0

$$2 x ^ { 2 } - 11 x + 16 = 0$$

פתור עבור x (complex solution)

$$x=\frac{11+\sqrt{7}i}{4}\approx 2.75+0.661437828i$$

$$x=\frac{-\sqrt{7}i+11}{4}\approx 2.75-0.661437828i$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$2x^{2}-11x+16=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 2 במקום a, ב- -11 במקום b, וב- 16 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 2\times 16}}{2\times 2}$$

‎-11 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 2\times 16}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎2.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-8\times 16}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-8 ב- ‎16.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-128}}{2\times 2}$$

הוסף את ‎121 ל- ‎-128.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{-7}}{2\times 2}$$

הוצא את השורש הריבועי של -7.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{7}i}{2\times 2}$$

ההופכי של ‎-11 הוא ‎11.

$$x=\frac{11±\sqrt{7}i}{2\times 2}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎2.

$$x=\frac{11±\sqrt{7}i}{4}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{11±\sqrt{7}i}{4} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎11 ל- ‎i\sqrt{7}.

$$x=\frac{11+\sqrt{7}i}{4}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{11±\sqrt{7}i}{4} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎i\sqrt{7} מ- ‎11.

$$x=\frac{-\sqrt{7}i+11}{4}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{11+\sqrt{7}i}{4} x=\frac{-\sqrt{7}i+11}{4}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-11x+16=0$$

החסר ‎16 משני אגפי המשוואה.

$$2x^{2}-11x+16-16=-16$$

החסרת 16 מעצמו נותנת 0.

$$2x^{2}-11x=-16$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$\frac{2x^{2}-11x}{2}=-\frac{16}{2}$$

חילוק ב- ‎2 מבטל את ההכפלה ב- ‎2.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=-\frac{16}{2}$$

חלק את ‎-16 ב- ‎2.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=-8$$

חלק את ‎-\frac{11}{2}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{11}{4}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{11}{4} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}=-8+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{11}{4} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=-8+\frac{121}{16}$$

הוסף את ‎-8 ל- ‎\frac{121}{16}.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=-\frac{7}{16}$$

פרק x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}=-\frac{7}{16}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{7}{16}}$$

פשט.

$$x-\frac{11}{4}=\frac{\sqrt{7}i}{4} x-\frac{11}{4}=-\frac{\sqrt{7}i}{4}$$

הוסף ‎\frac{11}{4} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{11+\sqrt{7}i}{4} x=\frac{-\sqrt{7}i+11}{4}$$