פתור את 2x^2-10x=6+11sqrt{x^2-5x}

$$2 x ^ { 2 } - 10 x = 6 + 11 \sqrt { x ^ { 2 } - 5 x }$$

פתור עבור x

$$x=-4$$

$$x=9$$

שלבי פתרון

החסר ‎6 משני אגפי המשוואה.

$$2x^{2}-10x-6=11\sqrt{x^{2}-5x}$$

העלה את שני אגפי המשוואה בריבוע.

$$\left(2x^{2}-10x-6\right)^{2}=\left(11\sqrt{x^{2}-5x}\right)^{2}$$

‎2x^{2}-10x-6 בריבוע.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36=\left(11\sqrt{x^{2}-5x}\right)^{2}$$

פיתוח ‎\left(11\sqrt{x^{2}-5x}\right)^{2}.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36=11^{2}\left(\sqrt{x^{2}-5x}\right)^{2}$$

חשב את 11 בחזקת 2 וקבל 121.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36=121\left(\sqrt{x^{2}-5x}\right)^{2}$$

חשב את \sqrt{x^{2}-5x} בחזקת 2 וקבל x^{2}-5x.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36=121\left(x^{2}-5x\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 121 ב- x^{2}-5x.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36=121x^{2}-605x$$

החסר ‎121x^{2} משני האגפים.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36-121x^{2}=-605x$$

כנס את ‎76x^{2} ו- ‎-121x^{2} כדי לקבל ‎-45x^{2}.

$$4x^{4}-40x^{3}-45x^{2}+120x+36=-605x$$

הוסף ‎605x משני הצדדים.

$$4x^{4}-40x^{3}-45x^{2}+120x+36+605x=0$$

כנס את ‎120x ו- ‎605x כדי לקבל ‎725x.

$$4x^{4}-40x^{3}-45x^{2}+725x+36=0$$

לפי משפט השורש הרציונלי, כל השורשים הרציונליים של פולינום הם בצורה \frac{p}{q}, כאשר p מחלק את האיבר הקבוע 36 ו- q מחלק את המקדם המוביל 4. פרט את כל המועמדים \frac{p}{q}.

$$±9,±18,±36,±\frac{9}{2},±3,±6,±12,±\frac{9}{4},±\frac{3}{2},±1,±2,±4,±\frac{3}{4},±\frac{1}{2},±\frac{1}{4}$$

מצא שורש כזה בכך שתנסה את כל ערכי המספרים השלמים, החל מהערך הקטן ביותר לפי ערך מוחלט. אם לא נמצאו שורשי מספרים שלמים, נסה שברים.

$$x=-4$$

לפי משפט הגורמים , x-k הוא גורם של הפולינום עבור כל שורש k. חלק את ‎4x^{4}-40x^{3}-45x^{2}+725x+36 ב- ‎x+4 כדי לקבל ‎4x^{3}-56x^{2}+179x+9. פתור את המשוואה כאשר התוצאה שווה ל 0.

$$4x^{3}-56x^{2}+179x+9=0$$

לפי משפט השורש הרציונלי, כל השורשים הרציונליים של פולינום הם בצורה \frac{p}{q}, כאשר p מחלק את האיבר הקבוע 9 ו- q מחלק את המקדם המוביל 4. פרט את כל המועמדים \frac{p}{q}.

$$±\frac{9}{4},±\frac{9}{2},±9,±\frac{3}{4},±\frac{3}{2},±3,±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

מצא שורש כזה בכך שתנסה את כל ערכי המספרים השלמים, החל מהערך הקטן ביותר לפי ערך מוחלט. אם לא נמצאו שורשי מספרים שלמים, נסה שברים.

$$x=9$$

לפי משפט הגורמים , x-k הוא גורם של הפולינום עבור כל שורש k. חלק את ‎4x^{3}-56x^{2}+179x+9 ב- ‎x-9 כדי לקבל ‎4x^{2}-20x-1. פתור את המשוואה כאשר התוצאה שווה ל 0.

$$4x^{2}-20x-1=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: ‎\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}‎. החלף את ‎4 ב- a, את ‎-20 ב- b ואת ‎-1 ב- c בנוסחה הריבועית.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{\left(-20\right)^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

בצע את החישובים.

$$x=\frac{20±4\sqrt{26}}{8}$$

פתור את המשוואה ‎4x^{2}-20x-1=0 כאשר ± הוא סימן חיבור וכאשר ± הוא סימן חיסור.

$$x=\frac{5-\sqrt{26}}{2} x=\frac{\sqrt{26}+5}{2}$$

פרט את כל הפתרונות שנמצאו.

$$x=-4 x=9 x=\frac{5-\sqrt{26}}{2} x=\frac{\sqrt{26}+5}{2}$$

השתמש ב- ‎-4 במקום ‎x במשוואה ‎2x^{2}-10x=6+11\sqrt{x^{2}-5x}.

$$2\left(-4\right)^{2}-10\left(-4\right)=6+11\sqrt{\left(-4\right)^{2}-5\left(-4\right)}$$

פשט. הערך x=-4 פותר את המשוואה.

$$72=72$$

השתמש ב- ‎9 במקום ‎x במשוואה ‎2x^{2}-10x=6+11\sqrt{x^{2}-5x}.

$$2\times 9^{2}-10\times 9=6+11\sqrt{9^{2}-5\times 9}$$

פשט. הערך x=9 פותר את המשוואה.

$$72=72$$

השתמש ב- ‎\frac{5-\sqrt{26}}{2} במקום ‎x במשוואה ‎2x^{2}-10x=6+11\sqrt{x^{2}-5x}.

$$2\times \left(\frac{5-\sqrt{26}}{2}\right)^{2}-10\times \frac{5-\sqrt{26}}{2}=6+11\sqrt{\left(\frac{5-\sqrt{26}}{2}\right)^{2}-5\times \frac{5-\sqrt{26}}{2}}$$

פשט. הערך x=\frac{5-\sqrt{26}}{2} אינו עומד במשוואה.

$$\frac{1}{2}=\frac{23}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{\sqrt{26}+5}{2} במקום ‎x במשוואה ‎2x^{2}-10x=6+11\sqrt{x^{2}-5x}.

$$2\times \left(\frac{\sqrt{26}+5}{2}\right)^{2}-10\times \frac{\sqrt{26}+5}{2}=6+11\sqrt{\left(\frac{\sqrt{26}+5}{2}\right)^{2}-5\times \frac{\sqrt{26}+5}{2}}$$

פשט. הערך x=\frac{\sqrt{26}+5}{2} אינו עומד במשוואה.

$$\frac{1}{2}=\frac{23}{2}$$

פרט את כל הפתרונות של 2x^{2}-10x-6=11\sqrt{x^{2}-5x}.

$$x=-4 x=9$$