פתור את 2x^2+4x-2leq0

$$2 x ^ { 2 } + 4 x - 2 \leq 0$$

פתור עבור x

$$x\in \begin{bmatrix}-\sqrt{2}-1,\sqrt{2}-1\end{bmatrix}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

כדי לפתור את אי-השוויון, פרק לגורמים את האגף השמאלי. ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}+4x-2=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: ‎\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}‎. החלף את ‎2 ב- a, את ‎4 ב- b ואת ‎-2 ב- c בנוסחה הריבועית.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 2\left(-2\right)}}{2\times 2}$$

בצע את החישובים.

$$x=\frac{-4±4\sqrt{2}}{4}$$

פתור את המשוואה ‎x=\frac{-4±4\sqrt{2}}{4} כאשר ± הוא סימן חיבור וכאשר ± הוא סימן חיסור.

$$x=\sqrt{2}-1 x=-\sqrt{2}-1$$

שכתב את אי-שוויון באמצעות הפתרונות שהתקבלו.

$$2\left(x-\left(\sqrt{2}-1\right)\right)\left(x-\left(-\sqrt{2}-1\right)\right)\leq 0$$

כדי שהמכפלה תהיה ≤0, אחד מהערכים ‎x-\left(\sqrt{2}-1\right) ו- ‎x-\left(-\sqrt{2}-1\right) צריך להיות ≥0 והשני צריך להיות ≤0. התבונן במקרה שבו x-\left(\sqrt{2}-1\right)\geq 0 ו- x-\left(-\sqrt{2}-1\right)\leq 0.

$$x-\left(\sqrt{2}-1\right)\geq 0 x-\left(-\sqrt{2}-1\right)\leq 0$$

זהו שקר עבור כל x.

$$x\in \emptyset$$

התבונן במקרה שבו x-\left(\sqrt{2}-1\right)\leq 0 ו- x-\left(-\sqrt{2}-1\right)\geq 0.

$$x-\left(-\sqrt{2}-1\right)\geq 0 x-\left(\sqrt{2}-1\right)\leq 0$$

הפתרון העונה על שני מצבי אי-השוויון הוא ‎x\in \left[-\left(\sqrt{2}+1\right),\sqrt{2}-1\right].

$$x\in \begin{bmatrix}-\left(\sqrt{2}+1\right),\sqrt{2}-1\end{bmatrix}$$

הפתרון הסופי הוא האיחוד של הפתרונות שהתקבלו.

$$x\in \begin{bmatrix}-\sqrt{2}-1,\sqrt{2}-1\end{bmatrix}$$