פתור את 2x^2+2x-180=0

$$2 x ^ { 2 } + 2 x - 180 = 0$$

פתור עבור x

$$x=-10$$

$$x=9$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x^{2}+x-90=0$$

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- x^{2}+ax+bx-90. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=1 ab=1\left(-90\right)=-90$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -90.

$$-1,90 -2,45 -3,30 -5,18 -6,15 -9,10$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+90=89 -2+45=43 -3+30=27 -5+18=13 -6+15=9 -9+10=1$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 1.

$$a=-9 b=10$$

שכתב את ‎x^{2}+x-90 כ- ‎\left(x^{2}-9x\right)+\left(10x-90\right).

$$\left(x^{2}-9x\right)+\left(10x-90\right)$$

הוצא את הגורם המשותף x בקבוצה הראשונה ואת 10 בקבוצה השניה.

$$x\left(x-9\right)+10\left(x-9\right)$$

הוצא את האיבר המשותף x-9 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(x-9\right)\left(x+10\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את x-9=0 ו- x+10=0.

$$x=9 x=-10$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$2x^{2}+2x-180=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 2 במקום a, ב- 2 במקום b, וב- -180 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 2\left(-180\right)}}{2\times 2}$$

‎2 בריבוע.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 2\left(-180\right)}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-8\left(-180\right)}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-8 ב- ‎-180.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+1440}}{2\times 2}$$

הוסף את ‎4 ל- ‎1440.

$$x=\frac{-2±\sqrt{1444}}{2\times 2}$$

הוצא את השורש הריבועי של 1444.

$$x=\frac{-2±38}{2\times 2}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎2.

$$x=\frac{-2±38}{4}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-2±38}{4} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-2 ל- ‎38.

$$x=\frac{36}{4}$$

חלק את ‎36 ב- ‎4.

$$x=9$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-2±38}{4} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎38 מ- ‎-2.

$$x=-\frac{40}{4}$$

חלק את ‎-40 ב- ‎4.

$$x=-10$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=9 x=-10$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+2x-180=0$$

הוסף ‎180 לשני אגפי המשוואה.

$$2x^{2}+2x-180-\left(-180\right)=-\left(-180\right)$$

החסרת -180 מעצמו נותנת 0.

$$2x^{2}+2x=-\left(-180\right)$$

החסר ‎-180 מ- ‎0.

$$2x^{2}+2x=180$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$\frac{2x^{2}+2x}{2}=\frac{180}{2}$$

חילוק ב- ‎2 מבטל את ההכפלה ב- ‎2.

$$x^{2}+\frac{2}{2}x=\frac{180}{2}$$

חלק את ‎2 ב- ‎2.

$$x^{2}+x=\frac{180}{2}$$

חלק את ‎180 ב- ‎2.

$$x^{2}+x=90$$

חלק את ‎1, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{1}{2}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{1}{2} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=90+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{1}{2} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=90+\frac{1}{4}$$

הוסף את ‎90 ל- ‎\frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{361}{4}$$

פרק x^{2}+x+\frac{1}{4} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{361}{4}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{4}}$$

פשט.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{19}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{19}{2}$$

החסר ‎\frac{1}{2} משני אגפי המשוואה.

$$x=9 x=-10$$