פתור את 2x^2+15x+7leq0

$$2 x ^ { 2 } + 15 x + 7 \leq 0$$

פתור עבור x

$$x\in \begin{bmatrix}-7,-\frac{1}{2}\end{bmatrix}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

כדי לפתור את אי-השוויון, פרק לגורמים את האגף השמאלי. ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}+15x+7=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: ‎\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}‎. החלף את ‎2 ב- a, את ‎15 ב- b ואת ‎7 ב- c בנוסחה הריבועית.

$$x=\frac{-15±\sqrt{15^{2}-4\times 2\times 7}}{2\times 2}$$

בצע את החישובים.

$$x=\frac{-15±13}{4}$$

פתור את המשוואה ‎x=\frac{-15±13}{4} כאשר ± הוא סימן חיבור וכאשר ± הוא סימן חיסור.

$$x=-\frac{1}{2} x=-7$$

שכתב את אי-שוויון באמצעות הפתרונות שהתקבלו.

$$2\left(x+\frac{1}{2}\right)\left(x+7\right)\leq 0$$

כדי שהמכפלה תהיה ≤0, אחד מהערכים ‎x+\frac{1}{2} ו- ‎x+7 צריך להיות ≥0 והשני צריך להיות ≤0. התבונן במקרה שבו x+\frac{1}{2}\geq 0 ו- x+7\leq 0.

$$x+\frac{1}{2}\geq 0 x+7\leq 0$$

זהו שקר עבור כל x.

$$x\in \emptyset$$

התבונן במקרה שבו x+\frac{1}{2}\leq 0 ו- x+7\geq 0.

$$x+7\geq 0 x+\frac{1}{2}\leq 0$$

הפתרון העונה על שני מצבי אי-השוויון הוא ‎x\in \left[-7,-\frac{1}{2}\right].

$$x\in \begin{bmatrix}-7,-\frac{1}{2}\end{bmatrix}$$

הפתרון הסופי הוא האיחוד של הפתרונות שהתקבלו.

$$x\in \begin{bmatrix}-7,-\frac{1}{2}\end{bmatrix}$$