פתור את 2x^2+11x+15

$$2 x ^ { 2 } + 11 x + 15$$

פרק לגורמים

$$\left(x+3\right)\left(2x+5\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 2x^{2}+ax+bx+15. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=11 ab=2\times 15=30$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא חיובי, a ו- b שניהם חיוביים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 30.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 11.

$$a=5 b=6$$

שכתב את ‎2x^{2}+11x+15 כ- ‎\left(2x^{2}+5x\right)+\left(6x+15\right).

$$\left(2x^{2}+5x\right)+\left(6x+15\right)$$

הוצא את הגורם המשותף x בקבוצה הראשונה ואת 3 בקבוצה השניה.

$$x\left(2x+5\right)+3\left(2x+5\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 2x+5 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(2x+5\right)\left(x+3\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}+11x+15=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 2\times 15}}{2\times 2}$$

‎11 בריבוע.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 2\times 15}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎2.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-8\times 15}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-8 ב- ‎15.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-120}}{2\times 2}$$

הוסף את ‎121 ל- ‎-120.

$$x=\frac{-11±\sqrt{1}}{2\times 2}$$

הוצא את השורש הריבועי של 1.

$$x=\frac{-11±1}{2\times 2}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎2.

$$x=\frac{-11±1}{4}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-11±1}{4} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-11 ל- ‎1.

$$x=-\frac{10}{4}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-10}{4} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x=-\frac{5}{2}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-11±1}{4} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎1 מ- ‎-11.

$$x=-\frac{12}{4}$$

חלק את ‎-12 ב- ‎4.

$$x=-3$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎-\frac{5}{2} במקום x_{1} וב- ‎-3 במקום x_{2}.

$$2x^{2}+11x+15=2\left(x-\left(-\frac{5}{2}\right)\right)\left(x-\left(-3\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$2x^{2}+11x+15=2\left(x+\frac{5}{2}\right)\left(x+3\right)$$

הוסף את ‎\frac{5}{2} ל- ‎x על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$2x^{2}+11x+15=2\times \frac{2x+5}{2}\left(x+3\right)$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎2 ב- ‎2 ו- ‎2.

$$2x^{2}+11x+15=\left(2x+5\right)\left(x+3\right)$$

הערך

$$\left(x+3\right)\left(2x+5\right)$$