פתור את 2n^2-3n-20

$$2 n ^ { 2 } - 3 n - 20$$

פרק לגורמים

$$\left(n-4\right)\left(2n+5\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 2n^{2}+an+bn-20. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-3 ab=2\left(-20\right)=-40$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -40.

$$1,-40 2,-20 4,-10 5,-8$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-40=-39 2-20=-18 4-10=-6 5-8=-3$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -3.

$$a=-8 b=5$$

שכתב את ‎2n^{2}-3n-20 כ- ‎\left(2n^{2}-8n\right)+\left(5n-20\right).

$$\left(2n^{2}-8n\right)+\left(5n-20\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 2n בקבוצה הראשונה ואת 5 בקבוצה השניה.

$$2n\left(n-4\right)+5\left(n-4\right)$$

הוצא את האיבר המשותף n-4 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(n-4\right)\left(2n+5\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$2n^{2}-3n-20=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$n=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 2\left(-20\right)}}{2\times 2}$$

‎-3 בריבוע.

$$n=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 2\left(-20\right)}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎2.

$$n=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-8\left(-20\right)}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-8 ב- ‎-20.

$$n=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+160}}{2\times 2}$$

הוסף את ‎9 ל- ‎160.

$$n=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{169}}{2\times 2}$$

הוצא את השורש הריבועי של 169.

$$n=\frac{-\left(-3\right)±13}{2\times 2}$$

ההופכי של ‎-3 הוא ‎3.

$$n=\frac{3±13}{2\times 2}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎2.

$$n=\frac{3±13}{4}$$

כעת פתור את המשוואה n=\frac{3±13}{4} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎3 ל- ‎13.

$$n=\frac{16}{4}$$

חלק את ‎16 ב- ‎4.

$$n=4$$

כעת פתור את המשוואה n=\frac{3±13}{4} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎13 מ- ‎3.

$$n=-\frac{10}{4}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-10}{4} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$n=-\frac{5}{2}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎4 במקום x_{1} וב- ‎-\frac{5}{2} במקום x_{2}.

$$2n^{2}-3n-20=2\left(n-4\right)\left(n-\left(-\frac{5}{2}\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$2n^{2}-3n-20=2\left(n-4\right)\left(n+\frac{5}{2}\right)$$

הוסף את ‎\frac{5}{2} ל- ‎n על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$2n^{2}-3n-20=2\left(n-4\right)\times \frac{2n+5}{2}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎2 ב- ‎2 ו- ‎2.

$$2n^{2}-3n-20=\left(n-4\right)\left(2n+5\right)$$

הערך

$$\left(n-4\right)\left(2n+5\right)$$