פתור את 2x^2+13x-24=0

$$2 { x }^{ 2 } +13x-24=0$$

פתור עבור x

$$x=-8$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 2x^{2}+ax+bx-24. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=13 ab=2\left(-24\right)=-48$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -48.

$$-1,48 -2,24 -3,16 -4,12 -6,8$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+48=47 -2+24=22 -3+16=13 -4+12=8 -6+8=2$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 13.

$$a=-3 b=16$$

שכתב את ‎2x^{2}+13x-24 כ- ‎\left(2x^{2}-3x\right)+\left(16x-24\right).

$$\left(2x^{2}-3x\right)+\left(16x-24\right)$$

הוצא את הגורם המשותף x בקבוצה הראשונה ואת 8 בקבוצה השניה.

$$x\left(2x-3\right)+8\left(2x-3\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 2x-3 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(2x-3\right)\left(x+8\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את 2x-3=0 ו- x+8=0.

$$x=\frac{3}{2} x=-8$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$2x^{2}+13x-24=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 2 במקום a, ב- 13 במקום b, וב- -24 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\times 2\left(-24\right)}}{2\times 2}$$

‎13 בריבוע.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\times 2\left(-24\right)}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎2.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-8\left(-24\right)}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-8 ב- ‎-24.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+192}}{2\times 2}$$

הוסף את ‎169 ל- ‎192.

$$x=\frac{-13±\sqrt{361}}{2\times 2}$$

הוצא את השורש הריבועי של 361.

$$x=\frac{-13±19}{2\times 2}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎2.

$$x=\frac{-13±19}{4}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-13±19}{4} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-13 ל- ‎19.

$$x=\frac{6}{4}$$

צמצם את השבר ‎\frac{6}{4} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x=\frac{3}{2}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-13±19}{4} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎19 מ- ‎-13.

$$x=-\frac{32}{4}$$

חלק את ‎-32 ב- ‎4.

$$x=-8$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{3}{2} x=-8$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+13x-24=0$$

הוסף ‎24 לשני אגפי המשוואה.

$$2x^{2}+13x-24-\left(-24\right)=-\left(-24\right)$$

החסרת -24 מעצמו נותנת 0.

$$2x^{2}+13x=-\left(-24\right)$$

החסר ‎-24 מ- ‎0.

$$2x^{2}+13x=24$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$\frac{2x^{2}+13x}{2}=\frac{24}{2}$$

חילוק ב- ‎2 מבטל את ההכפלה ב- ‎2.

$$x^{2}+\frac{13}{2}x=\frac{24}{2}$$

חלק את ‎24 ב- ‎2.

$$x^{2}+\frac{13}{2}x=12$$

חלק את ‎\frac{13}{2}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{13}{4}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{13}{4} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}+\frac{13}{2}x+\left(\frac{13}{4}\right)^{2}=12+\left(\frac{13}{4}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{13}{4} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}+\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=12+\frac{169}{16}$$

הוסף את ‎12 ל- ‎\frac{169}{16}.

$$x^{2}+\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=\frac{361}{16}$$

פרק x^{2}+\frac{13}{2}x+\frac{169}{16} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{13}{4}\right)^{2}=\frac{361}{16}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x+\frac{13}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{16}}$$

פשט.

$$x+\frac{13}{4}=\frac{19}{4} x+\frac{13}{4}=-\frac{19}{4}$$

החסר ‎\frac{13}{4} משני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{3}{2} x=-8$$