פתור את 16x^2+8x-3=0

$$16 x ^ { 2 } + 8 x - 3 = 0$$

פתור עבור x

$$x=-\frac{3}{4}=-0.75$$

$$x=\frac{1}{4}=0.25$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 16x^{2}+ax+bx-3. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=8 ab=16\left(-3\right)=-48$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -48.

$$-1,48 -2,24 -3,16 -4,12 -6,8$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+48=47 -2+24=22 -3+16=13 -4+12=8 -6+8=2$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 8.

$$a=-4 b=12$$

שכתב את ‎16x^{2}+8x-3 כ- ‎\left(16x^{2}-4x\right)+\left(12x-3\right).

$$\left(16x^{2}-4x\right)+\left(12x-3\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 4x בקבוצה הראשונה ואת 3 בקבוצה השניה.

$$4x\left(4x-1\right)+3\left(4x-1\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 4x-1 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(4x-1\right)\left(4x+3\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את 4x-1=0 ו- 4x+3=0.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{3}{4}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$16x^{2}+8x-3=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 16 במקום a, ב- 8 במקום b, וב- -3 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 16\left(-3\right)}}{2\times 16}$$

‎8 בריבוע.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 16\left(-3\right)}}{2\times 16}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎16.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-64\left(-3\right)}}{2\times 16}$$

הכפל את ‎-64 ב- ‎-3.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+192}}{2\times 16}$$

הוסף את ‎64 ל- ‎192.

$$x=\frac{-8±\sqrt{256}}{2\times 16}$$

הוצא את השורש הריבועי של 256.

$$x=\frac{-8±16}{2\times 16}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎16.

$$x=\frac{-8±16}{32}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-8±16}{32} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-8 ל- ‎16.

$$x=\frac{8}{32}$$

צמצם את השבר ‎\frac{8}{32} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 8.

$$x=\frac{1}{4}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-8±16}{32} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎16 מ- ‎-8.

$$x=-\frac{24}{32}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-24}{32} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 8.

$$x=-\frac{3}{4}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{3}{4}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$16x^{2}+8x-3=0$$

הוסף ‎3 לשני אגפי המשוואה.

$$16x^{2}+8x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

החסרת -3 מעצמו נותנת 0.

$$16x^{2}+8x=-\left(-3\right)$$

החסר ‎-3 מ- ‎0.

$$16x^{2}+8x=3$$

חלק את שני האגפים ב- ‎16.

$$\frac{16x^{2}+8x}{16}=\frac{3}{16}$$

חילוק ב- ‎16 מבטל את ההכפלה ב- ‎16.

$$x^{2}+\frac{8}{16}x=\frac{3}{16}$$

צמצם את השבר ‎\frac{8}{16} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 8.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{3}{16}$$

חלק את ‎\frac{1}{2}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{1}{4}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{1}{4} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{3}{16}+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{1}{4} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{3+1}{16}$$

הוסף את ‎\frac{3}{16} ל- ‎\frac{1}{16} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{1}{4}$$

פרק x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

פשט.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{1}{2} x+\frac{1}{4}=-\frac{1}{2}$$

החסר ‎\frac{1}{4} משני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{3}{4}$$