פתור את 15b^2-100b-160

$$15 b ^ { 2 } - 100 b - 160$$

פרק לגורמים

$$5\left(b-8\right)\left(3b+4\right)$$

שלבי פתרון

הוצא את הגורם המשותף 5.

$$5\left(3b^{2}-20b-32\right)$$

שקול את 3b^{2}-20b-32. פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 3b^{2}+pb+qb-32. כדי למצוא את p ו- q, הגדר מערכת לפתרון.

$$p+q=-20 pq=3\left(-32\right)=-96$$

מאחר ש- pq הוא שלילי, ל- p ול- q יש סימנים הפוכים. מאחר ש- p+q הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -96.

$$1,-96 2,-48 3,-32 4,-24 6,-16 8,-12$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-96=-95 2-48=-46 3-32=-29 4-24=-20 6-16=-10 8-12=-4$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -20.

$$p=-24 q=4$$

שכתב את ‎3b^{2}-20b-32 כ- ‎\left(3b^{2}-24b\right)+\left(4b-32\right).

$$\left(3b^{2}-24b\right)+\left(4b-32\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 3b בקבוצה הראשונה ואת 4 בקבוצה השניה.

$$3b\left(b-8\right)+4\left(b-8\right)$$

הוצא את האיבר המשותף b-8 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(b-8\right)\left(3b+4\right)$$

שכתב את הביטוי המפורק לגורמים המלא.

$$5\left(b-8\right)\left(3b+4\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$15b^{2}-100b-160=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$b=\frac{-\left(-100\right)±\sqrt{\left(-100\right)^{2}-4\times 15\left(-160\right)}}{2\times 15}$$

‎-100 בריבוע.

$$b=\frac{-\left(-100\right)±\sqrt{10000-4\times 15\left(-160\right)}}{2\times 15}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎15.

$$b=\frac{-\left(-100\right)±\sqrt{10000-60\left(-160\right)}}{2\times 15}$$

הכפל את ‎-60 ב- ‎-160.

$$b=\frac{-\left(-100\right)±\sqrt{10000+9600}}{2\times 15}$$

הוסף את ‎10000 ל- ‎9600.

$$b=\frac{-\left(-100\right)±\sqrt{19600}}{2\times 15}$$

הוצא את השורש הריבועי של 19600.

$$b=\frac{-\left(-100\right)±140}{2\times 15}$$

ההופכי של ‎-100 הוא ‎100.

$$b=\frac{100±140}{2\times 15}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎15.

$$b=\frac{100±140}{30}$$

כעת פתור את המשוואה b=\frac{100±140}{30} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎100 ל- ‎140.

$$b=\frac{240}{30}$$

חלק את ‎240 ב- ‎30.

$$b=8$$

כעת פתור את המשוואה b=\frac{100±140}{30} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎140 מ- ‎100.

$$b=-\frac{40}{30}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-40}{30} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 10.

$$b=-\frac{4}{3}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎8 במקום x_{1} וב- ‎-\frac{4}{3} במקום x_{2}.

$$15b^{2}-100b-160=15\left(b-8\right)\left(b-\left(-\frac{4}{3}\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$15b^{2}-100b-160=15\left(b-8\right)\left(b+\frac{4}{3}\right)$$

הוסף את ‎\frac{4}{3} ל- ‎b על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$15b^{2}-100b-160=15\left(b-8\right)\times \frac{3b+4}{3}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎3 ב- ‎15 ו- ‎3.

$$15b^{2}-100b-160=5\left(b-8\right)\left(3b+4\right)$$

הערך

$$5\left(b-8\right)\left(3b+4\right)$$