פתור את 13a^2-12a-9=0

$$13 a ^ { 2 } - 12 a - 9 = 0$$

פתור עבור a

$$a = \frac{3 \sqrt{17} + 6}{13} \approx 1.413024375$$

$$a=\frac{6-3\sqrt{17}}{13}\approx -0.489947452$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$13a^{2}-12a-9=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 13 במקום a, ב- -12 במקום b, וב- -9 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$a=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 13\left(-9\right)}}{2\times 13}$$

‎-12 בריבוע.

$$a=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 13\left(-9\right)}}{2\times 13}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎13.

$$a=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-52\left(-9\right)}}{2\times 13}$$

הכפל את ‎-52 ב- ‎-9.

$$a=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+468}}{2\times 13}$$

הוסף את ‎144 ל- ‎468.

$$a=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{612}}{2\times 13}$$

הוצא את השורש הריבועי של 612.

$$a=\frac{-\left(-12\right)±6\sqrt{17}}{2\times 13}$$

ההופכי של ‎-12 הוא ‎12.

$$a=\frac{12±6\sqrt{17}}{2\times 13}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎13.

$$a=\frac{12±6\sqrt{17}}{26}$$

כעת פתור את המשוואה a=\frac{12±6\sqrt{17}}{26} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎12 ל- ‎6\sqrt{17}.

$$a=\frac{6\sqrt{17}+12}{26}$$

חלק את ‎12+6\sqrt{17} ב- ‎26.

$$a=\frac{3\sqrt{17}+6}{13}$$

כעת פתור את המשוואה a=\frac{12±6\sqrt{17}}{26} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎6\sqrt{17} מ- ‎12.

$$a=\frac{12-6\sqrt{17}}{26}$$

חלק את ‎12-6\sqrt{17} ב- ‎26.

$$a=\frac{6-3\sqrt{17}}{13}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$a=\frac{3\sqrt{17}+6}{13} a=\frac{6-3\sqrt{17}}{13}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$13a^{2}-12a-9=0$$

הוסף ‎9 לשני אגפי המשוואה.

$$13a^{2}-12a-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

החסרת -9 מעצמו נותנת 0.

$$13a^{2}-12a=-\left(-9\right)$$

החסר ‎-9 מ- ‎0.

$$13a^{2}-12a=9$$

חלק את שני האגפים ב- ‎13.

$$\frac{13a^{2}-12a}{13}=\frac{9}{13}$$

חילוק ב- ‎13 מבטל את ההכפלה ב- ‎13.

$$a^{2}-\frac{12}{13}a=\frac{9}{13}$$

חלק את ‎-\frac{12}{13}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{6}{13}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{6}{13} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$a^{2}-\frac{12}{13}a+\left(-\frac{6}{13}\right)^{2}=\frac{9}{13}+\left(-\frac{6}{13}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{6}{13} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$a^{2}-\frac{12}{13}a+\frac{36}{169}=\frac{9}{13}+\frac{36}{169}$$

הוסף את ‎\frac{9}{13} ל- ‎\frac{36}{169} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$a^{2}-\frac{12}{13}a+\frac{36}{169}=\frac{153}{169}$$

פרק a^{2}-\frac{12}{13}a+\frac{36}{169} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(a-\frac{6}{13}\right)^{2}=\frac{153}{169}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(a-\frac{6}{13}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{153}{169}}$$

פשט.

$$a-\frac{6}{13}=\frac{3\sqrt{17}}{13} a-\frac{6}{13}=-\frac{3\sqrt{17}}{13}$$

הוסף ‎\frac{6}{13} לשני אגפי המשוואה.

$$a=\frac{3\sqrt{17}+6}{13} a=\frac{6-3\sqrt{17}}{13}$$