פתור את 12x^2+17x-7=0

$$12 x ^ { 2 } + 17 x - 7 = 0$$

פתור עבור x

$$x = -\frac{7}{4} = -1\frac{3}{4} = -1.75$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 12x^{2}+ax+bx-7. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=17 ab=12\left(-7\right)=-84$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -84.

$$-1,84 -2,42 -3,28 -4,21 -6,14 -7,12$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+84=83 -2+42=40 -3+28=25 -4+21=17 -6+14=8 -7+12=5$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 17.

$$a=-4 b=21$$

שכתב את ‎12x^{2}+17x-7 כ- ‎\left(12x^{2}-4x\right)+\left(21x-7\right).

$$\left(12x^{2}-4x\right)+\left(21x-7\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 4x בקבוצה הראשונה ואת 7 בקבוצה השניה.

$$4x\left(3x-1\right)+7\left(3x-1\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 3x-1 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(3x-1\right)\left(4x+7\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את 3x-1=0 ו- 4x+7=0.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{4}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$12x^{2}+17x-7=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 12 במקום a, ב- 17 במקום b, וב- -7 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-17±\sqrt{17^{2}-4\times 12\left(-7\right)}}{2\times 12}$$

‎17 בריבוע.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-4\times 12\left(-7\right)}}{2\times 12}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎12.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-48\left(-7\right)}}{2\times 12}$$

הכפל את ‎-48 ב- ‎-7.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289+336}}{2\times 12}$$

הוסף את ‎289 ל- ‎336.

$$x=\frac{-17±\sqrt{625}}{2\times 12}$$

הוצא את השורש הריבועי של 625.

$$x=\frac{-17±25}{2\times 12}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎12.

$$x=\frac{-17±25}{24}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-17±25}{24} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-17 ל- ‎25.

$$x=\frac{8}{24}$$

צמצם את השבר ‎\frac{8}{24} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 8.

$$x=\frac{1}{3}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-17±25}{24} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎25 מ- ‎-17.

$$x=-\frac{42}{24}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-42}{24} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 6.

$$x=-\frac{7}{4}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{4}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}+17x-7=0$$

הוסף ‎7 לשני אגפי המשוואה.

$$12x^{2}+17x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

החסרת -7 מעצמו נותנת 0.

$$12x^{2}+17x=-\left(-7\right)$$

החסר ‎-7 מ- ‎0.

$$12x^{2}+17x=7$$

חלק את שני האגפים ב- ‎12.

$$\frac{12x^{2}+17x}{12}=\frac{7}{12}$$

חילוק ב- ‎12 מבטל את ההכפלה ב- ‎12.

$$x^{2}+\frac{17}{12}x=\frac{7}{12}$$

חלק את ‎\frac{17}{12}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{17}{24}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{17}{24} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}+\frac{17}{12}x+\left(\frac{17}{24}\right)^{2}=\frac{7}{12}+\left(\frac{17}{24}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{17}{24} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}+\frac{17}{12}x+\frac{289}{576}=\frac{7}{12}+\frac{289}{576}$$

הוסף את ‎\frac{7}{12} ל- ‎\frac{289}{576} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}+\frac{17}{12}x+\frac{289}{576}=\frac{625}{576}$$

פרק x^{2}+\frac{17}{12}x+\frac{289}{576} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{17}{24}\right)^{2}=\frac{625}{576}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x+\frac{17}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{576}}$$

פשט.

$$x+\frac{17}{24}=\frac{25}{24} x+\frac{17}{24}=-\frac{25}{24}$$

החסר ‎\frac{17}{24} משני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{4}$$