פתור את 12x^2+36x+27=0

$$12 { x }^{ 2 } +36x+27=0$$

פתור עבור x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$4x^{2}+12x+9=0$$

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 4x^{2}+ax+bx+9. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=12 ab=4\times 9=36$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא חיובי, a ו- b שניהם חיוביים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 36.

$$1,36 2,18 3,12 4,9 6,6$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1+36=37 2+18=20 3+12=15 4+9=13 6+6=12$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 12.

$$a=6 b=6$$

שכתב את ‎4x^{2}+12x+9 כ- ‎\left(4x^{2}+6x\right)+\left(6x+9\right).

$$\left(4x^{2}+6x\right)+\left(6x+9\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 2x בקבוצה הראשונה ואת 3 בקבוצה השניה.

$$2x\left(2x+3\right)+3\left(2x+3\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 2x+3 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(2x+3\right)\left(2x+3\right)$$

כתוב מחדש כריבוע בינומי.

$$\left(2x+3\right)^{2}$$

כדי למצוא פתרון משוואה, פתור את 2x+3=0.

$$x=-\frac{3}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$12x^{2}+36x+27=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 12 במקום a, ב- 36 במקום b, וב- 27 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-36±\sqrt{36^{2}-4\times 12\times 27}}{2\times 12}$$

‎36 בריבוע.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-4\times 12\times 27}}{2\times 12}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎12.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-48\times 27}}{2\times 12}$$

הכפל את ‎-48 ב- ‎27.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-1296}}{2\times 12}$$

הוסף את ‎1296 ל- ‎-1296.

$$x=\frac{-36±\sqrt{0}}{2\times 12}$$

הוצא את השורש הריבועי של 0.

$$x=-\frac{36}{2\times 12}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎12.

$$x=-\frac{36}{24}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-36}{24} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 12.

$$x=-\frac{3}{2}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}+36x+27=0$$

החסר ‎27 משני אגפי המשוואה.

$$12x^{2}+36x+27-27=-27$$

החסרת 27 מעצמו נותנת 0.

$$12x^{2}+36x=-27$$

חלק את שני האגפים ב- ‎12.

$$\frac{12x^{2}+36x}{12}=-\frac{27}{12}$$

חילוק ב- ‎12 מבטל את ההכפלה ב- ‎12.

$$x^{2}+\frac{36}{12}x=-\frac{27}{12}$$

חלק את ‎36 ב- ‎12.

$$x^{2}+3x=-\frac{27}{12}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-27}{12} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 3.

$$x^{2}+3x=-\frac{9}{4}$$

חלק את ‎3, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{3}{2}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{3}{2} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{9}{4}+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{3}{2} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{-9+9}{4}$$

הוסף את ‎-\frac{9}{4} ל- ‎\frac{9}{4} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=0$$

פרק x^{2}+3x+\frac{9}{4} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=0$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

פשט.

$$x+\frac{3}{2}=0 x+\frac{3}{2}=0$$

החסר ‎\frac{3}{2} משני אגפי המשוואה.

$$x=-\frac{3}{2} x=-\frac{3}{2}$$

המשוואה נפתרה כעת. הפתרונות זהים.

$$x=-\frac{3}{2}$$