פתור את 11x^2-9x+1>0

$$11 { x }^{ 2 } -9x+1 > 0$$

פתור עבור x

$$x\in \left(-\infty,\frac{9-\sqrt{37}}{22}\right)\cup \left(\frac{\sqrt{37}+9}{22},\infty\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

כדי לפתור את אי-השוויון, פרק לגורמים את האגף השמאלי. ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$11x^{2}-9x+1=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: ‎\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}‎. החלף את ‎11 ב- a, את ‎-9 ב- b ואת ‎1 ב- c בנוסחה הריבועית.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 11\times 1}}{2\times 11}$$

בצע את החישובים.

$$x=\frac{9±\sqrt{37}}{22}$$

פתור את המשוואה ‎x=\frac{9±\sqrt{37}}{22} כאשר ± הוא סימן חיבור וכאשר ± הוא סימן חיסור.

$$x=\frac{\sqrt{37}+9}{22} x=\frac{9-\sqrt{37}}{22}$$

שכתב את אי-שוויון באמצעות הפתרונות שהתקבלו.

$$11\left(x-\frac{\sqrt{37}+9}{22}\right)\left(x-\frac{9-\sqrt{37}}{22}\right)>0$$

כדי שהמכפלה תהיה חיובית, ‎x-\frac{\sqrt{37}+9}{22} ו- ‎x-\frac{9-\sqrt{37}}{22} חייבים שניהם להיות שליליים או חיוביים. שקול את המקרה כאשר ‎x-\frac{\sqrt{37}+9}{22} ו- ‎x-\frac{9-\sqrt{37}}{22} שניהם שליליים.

$$x-\frac{\sqrt{37}+9}{22}<0 x-\frac{9-\sqrt{37}}{22}<0$$

הפתרון העונה על שני מצבי אי-השוויון הוא ‎x<\frac{9-\sqrt{37}}{22}.

$$x<\frac{9-\sqrt{37}}{22}$$

שקול את המקרה כאשר ‎x-\frac{\sqrt{37}+9}{22} ו- ‎x-\frac{9-\sqrt{37}}{22} שניהם חיוביים.

$$x-\frac{9-\sqrt{37}}{22}>0 x-\frac{\sqrt{37}+9}{22}>0$$

הפתרון העונה על שני מצבי אי-השוויון הוא ‎x>\frac{\sqrt{37}+9}{22}.

$$x>\frac{\sqrt{37}+9}{22}$$

הפתרון הסופי הוא האיחוד של הפתרונות שהתקבלו.

$$x<\frac{9-\sqrt{37}}{22}\text{; }x>\frac{\sqrt{37}+9}{22}$$