פתור את 10x^2-7x-12geq0

$$10 x ^ { 2 } - 7 x - 12 \geq 0$$

פתור עבור x

$$x\in (-\infty,-\frac{4}{5}]\cup [\frac{3}{2},\infty)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

כדי לפתור את אי-השוויון, פרק לגורמים את האגף השמאלי. ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$10x^{2}-7x-12=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: ‎\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}‎. החלף את ‎10 ב- a, את ‎-7 ב- b ואת ‎-12 ב- c בנוסחה הריבועית.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 10\left(-12\right)}}{2\times 10}$$

בצע את החישובים.

$$x=\frac{7±23}{20}$$

פתור את המשוואה ‎x=\frac{7±23}{20} כאשר ± הוא סימן חיבור וכאשר ± הוא סימן חיסור.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{4}{5}$$

שכתב את אי-שוויון באמצעות הפתרונות שהתקבלו.

$$10\left(x-\frac{3}{2}\right)\left(x+\frac{4}{5}\right)\geq 0$$

כדי שהמכפלה תהיה ≥0‏, ‎x-\frac{3}{2} ו- ‎x+\frac{4}{5} חייבים שניהם להיות ≤0 או ≥0. שקול את המקרה כאשר ‎x-\frac{3}{2} ו- ‎x+\frac{4}{5} שניהם ≤0.

$$x-\frac{3}{2}\leq 0 x+\frac{4}{5}\leq 0$$

הפתרון העונה על שני מצבי אי-השוויון הוא ‎x\leq -\frac{4}{5}.

$$x\leq -\frac{4}{5}$$

שקול את המקרה כאשר ‎x-\frac{3}{2} ו- ‎x+\frac{4}{5} שניהם ≥0.

$$x+\frac{4}{5}\geq 0 x-\frac{3}{2}\geq 0$$

הפתרון העונה על שני מצבי אי-השוויון הוא ‎x\geq \frac{3}{2}.

$$x\geq \frac{3}{2}$$

הפתרון הסופי הוא האיחוד של הפתרונות שהתקבלו.

$$x\leq -\frac{4}{5}\text{; }x\geq \frac{3}{2}$$