פתור את 10c^2-19c-15

$$10 c ^ { 2 } - 19 c - 15$$

פרק לגורמים

$$\left(2c-5\right)\left(5c+3\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 10c^{2}+ac+bc-15. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-19 ab=10\left(-15\right)=-150$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -150.

$$1,-150 2,-75 3,-50 5,-30 6,-25 10,-15$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-150=-149 2-75=-73 3-50=-47 5-30=-25 6-25=-19 10-15=-5$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -19.

$$a=-25 b=6$$

שכתב את ‎10c^{2}-19c-15 כ- ‎\left(10c^{2}-25c\right)+\left(6c-15\right).

$$\left(10c^{2}-25c\right)+\left(6c-15\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 5c בקבוצה הראשונה ואת 3 בקבוצה השניה.

$$5c\left(2c-5\right)+3\left(2c-5\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 2c-5 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(2c-5\right)\left(5c+3\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$10c^{2}-19c-15=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$c=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{\left(-19\right)^{2}-4\times 10\left(-15\right)}}{2\times 10}$$

‎-19 בריבוע.

$$c=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-4\times 10\left(-15\right)}}{2\times 10}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎10.

$$c=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-40\left(-15\right)}}{2\times 10}$$

הכפל את ‎-40 ב- ‎-15.

$$c=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361+600}}{2\times 10}$$

הוסף את ‎361 ל- ‎600.

$$c=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{961}}{2\times 10}$$

הוצא את השורש הריבועי של 961.

$$c=\frac{-\left(-19\right)±31}{2\times 10}$$

ההופכי של ‎-19 הוא ‎19.

$$c=\frac{19±31}{2\times 10}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎10.

$$c=\frac{19±31}{20}$$

כעת פתור את המשוואה c=\frac{19±31}{20} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎19 ל- ‎31.

$$c=\frac{50}{20}$$

צמצם את השבר ‎\frac{50}{20} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 10.

$$c=\frac{5}{2}$$

כעת פתור את המשוואה c=\frac{19±31}{20} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎31 מ- ‎19.

$$c=-\frac{12}{20}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-12}{20} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 4.

$$c=-\frac{3}{5}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎\frac{5}{2} במקום x_{1} וב- ‎-\frac{3}{5} במקום x_{2}.

$$10c^{2}-19c-15=10\left(c-\frac{5}{2}\right)\left(c-\left(-\frac{3}{5}\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$10c^{2}-19c-15=10\left(c-\frac{5}{2}\right)\left(c+\frac{3}{5}\right)$$

החסר את c מ- \frac{5}{2} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$10c^{2}-19c-15=10\times \frac{2c-5}{2}\left(c+\frac{3}{5}\right)$$

הוסף את ‎\frac{3}{5} ל- ‎c על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$10c^{2}-19c-15=10\times \frac{2c-5}{2}\times \frac{5c+3}{5}$$

הכפל את ‎\frac{2c-5}{2} ב- ‎\frac{5c+3}{5} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$10c^{2}-19c-15=10\times \frac{\left(2c-5\right)\left(5c+3\right)}{2\times 5}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎5.

$$10c^{2}-19c-15=10\times \frac{\left(2c-5\right)\left(5c+3\right)}{10}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎10 ב- ‎10 ו- ‎10.

$$10c^{2}-19c-15=\left(2c-5\right)\left(5c+3\right)$$

הערך

$$\left(2c-5\right)\left(5c+3\right)$$