פתור את -3x^2+4x+15

$$-3 { x }^{ 2 } +4x+15$$

פרק לגורמים

$$\left(3-x\right)\left(3x+5\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- -3x^{2}+ax+bx+15. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=4 ab=-3\times 15=-45$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -45.

$$-1,45 -3,15 -5,9$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+45=44 -3+15=12 -5+9=4$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 4.

$$a=9 b=-5$$

שכתב את ‎-3x^{2}+4x+15 כ- ‎\left(-3x^{2}+9x\right)+\left(-5x+15\right).

$$\left(-3x^{2}+9x\right)+\left(-5x+15\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 3x בקבוצה הראשונה ואת 5 בקבוצה השניה.

$$3x\left(-x+3\right)+5\left(-x+3\right)$$

הוצא את האיבר המשותף -x+3 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(-x+3\right)\left(3x+5\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$-3x^{2}+4x+15=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\left(-3\right)\times 15}}{2\left(-3\right)}$$

‎4 בריבוע.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\left(-3\right)\times 15}}{2\left(-3\right)}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎-3.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+12\times 15}}{2\left(-3\right)}$$

הכפל את ‎12 ב- ‎15.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+180}}{2\left(-3\right)}$$

הוסף את ‎16 ל- ‎180.

$$x=\frac{-4±\sqrt{196}}{2\left(-3\right)}$$

הוצא את השורש הריבועי של 196.

$$x=\frac{-4±14}{2\left(-3\right)}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-3.

$$x=\frac{-4±14}{-6}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-4±14}{-6} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-4 ל- ‎14.

$$x=\frac{10}{-6}$$

צמצם את השבר ‎\frac{10}{-6} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x=-\frac{5}{3}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-4±14}{-6} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎14 מ- ‎-4.

$$x=-\frac{18}{-6}$$

חלק את ‎-18 ב- ‎-6.

$$x=3$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎-\frac{5}{3} במקום x_{1} וב- ‎3 במקום x_{2}.

$$-3x^{2}+4x+15=-3\left(x-\left(-\frac{5}{3}\right)\right)\left(x-3\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$-3x^{2}+4x+15=-3\left(x+\frac{5}{3}\right)\left(x-3\right)$$

הוסף את ‎\frac{5}{3} ל- ‎x על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$-3x^{2}+4x+15=-3\times \frac{-3x-5}{-3}\left(x-3\right)$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎3 ב- ‎-3 ו- ‎3.

$$-3x^{2}+4x+15=\left(-3x-5\right)\left(x-3\right)$$

הערך

$$\left(3-x\right)\left(3x+5\right)$$