פתור את -3x^2+16x+128=0

$$-3 { x }^{ 2 } +16x+128=0$$

פתור עבור x

$$x = \frac{8 \sqrt{7} + 8}{3} \approx 9.722003496$$

$$x=\frac{8-8\sqrt{7}}{3}\approx -4.388670163$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$-3x^{2}+16x+128=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- -3 במקום a, ב- 16 במקום b, וב- 128 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\left(-3\right)\times 128}}{2\left(-3\right)}$$

‎16 בריבוע.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\left(-3\right)\times 128}}{2\left(-3\right)}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎-3.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+12\times 128}}{2\left(-3\right)}$$

הכפל את ‎12 ב- ‎128.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+1536}}{2\left(-3\right)}$$

הוסף את ‎256 ל- ‎1536.

$$x=\frac{-16±\sqrt{1792}}{2\left(-3\right)}$$

הוצא את השורש הריבועי של 1792.

$$x=\frac{-16±16\sqrt{7}}{2\left(-3\right)}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-3.

$$x=\frac{-16±16\sqrt{7}}{-6}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-16±16\sqrt{7}}{-6} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-16 ל- ‎16\sqrt{7}.

$$x=\frac{16\sqrt{7}-16}{-6}$$

חלק את ‎-16+16\sqrt{7} ב- ‎-6.

$$x=\frac{8-8\sqrt{7}}{3}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-16±16\sqrt{7}}{-6} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎16\sqrt{7} מ- ‎-16.

$$x=\frac{-16\sqrt{7}-16}{-6}$$

חלק את ‎-16-16\sqrt{7} ב- ‎-6.

$$x=\frac{8\sqrt{7}+8}{3}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{8-8\sqrt{7}}{3} x=\frac{8\sqrt{7}+8}{3}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}+16x+128=0$$

החסר ‎128 משני אגפי המשוואה.

$$-3x^{2}+16x+128-128=-128$$

החסרת 128 מעצמו נותנת 0.

$$-3x^{2}+16x=-128$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-3.

$$\frac{-3x^{2}+16x}{-3}=-\frac{128}{-3}$$

חילוק ב- ‎-3 מבטל את ההכפלה ב- ‎-3.

$$x^{2}+\frac{16}{-3}x=-\frac{128}{-3}$$

חלק את ‎16 ב- ‎-3.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x=-\frac{128}{-3}$$

חלק את ‎-128 ב- ‎-3.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x=\frac{128}{3}$$

חלק את ‎-\frac{16}{3}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{8}{3}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{8}{3} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x+\left(-\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{128}{3}+\left(-\frac{8}{3}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{8}{3} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=\frac{128}{3}+\frac{64}{9}$$

הוסף את ‎\frac{128}{3} ל- ‎\frac{64}{9} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=\frac{448}{9}$$

פרק x^{2}-\frac{16}{3}x+\frac{64}{9} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{448}{9}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{8}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{448}{9}}$$

פשט.

$$x-\frac{8}{3}=\frac{8\sqrt{7}}{3} x-\frac{8}{3}=-\frac{8\sqrt{7}}{3}$$

הוסף ‎\frac{8}{3} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{8\sqrt{7}+8}{3} x=\frac{8-8\sqrt{7}}{3}$$